Reeller projektiver Raum

Ein reeller projektiver Raum ist in der Mathematik der projektive Raum eines reellen Vektorraumes, welcher als Punkte sämtliche reelle Ursprungsgeraden (eindimensionale Untervektorräume) von diesem enthält. $ℝP^n$ notiert dabei den projektiven Raum von ${ℝ}^{n+1}$ und wird $n$-ter reeller projektiver Raum genannt. Ein reeller projektiver Raum ist ein Spezialfall einer Graßmann-Mannigfaltigkeit durch $ℝP^n={\mathrm{Gr}}_1({ℝ}^{n+1})$.

Konstruktion

Darstellung der reellen projektiven Ebene, bei der die roten und blauen Seiten entsprechend der durch die Pfeile gegebenen Orientierung miteinander identifiziert werden.

Auf dem reellen euklidischen Raum ${ℝ}^{n+1}\setminus \{0\}$ ohne Ursprung ist die Relation $x\sim y$, wenn es einen reellen Skalar $\lambda \in ℝ\setminus \{0\}$ mit $x=\lambda y$ gibt, eine Äquivalenzrelation. $ℝP^n$ ist der Faktorraum von ${ℝ}^{n+1}\setminus \{0\}$ unter dieser Äquivalenzrelation. Die Äquivalenzklasse einer Koordinate $(x_0,\dots ,x_n)\in {ℝ}^{n+1}\setminus \{0\}$ wird als $[x_0:\dots :x_n]\in ℝP^n$ notiert. Dieser Raum ist eine (reelle) Mannigfaltigkeit, was an der alternativen Definition durch die eindimensionalen Untervektorräume von ${ℝ}^{n+1}$, also als Graßmann-Mannigfaltigkeit $ℝP^n={\mathrm{Gr}}_1({ℝ}^{n+1})$, erkennbar ist. Dabei gilt:

${\dim }_{ℝ}ℝP^n=n.$

Eine alternative Konstruktion ist die Einschränkung auf die Sphären $S^n\subset {ℝ}^{n+1}\setminus \{0\}$ und $S^0\subset ℝ\setminus \{0\}$ bei der Betrachtung dieser Äquivalenzrelation. Dadurch ergibt sich ein Faserbündel:

$S^0\to S^n\to ℝP^n.$

Da die Faser $S^0\cong {\mathbb{Z}}_2$ diskret ist, ist die Abbildung $S^n\to ℝP^n$ eine doppelte Überlagerung.

Alternative Darstellung der reellen projektiven Ebene

Niedrigdimensionale Beispiele

• $ℝP^0$ ist der einpunktige Raum.
• $ℝP^1$ wird reelle projektive Linie genannt und ist homöomorph zur $1$-Sphäre $S^1$. Die zusammen mit der kanonischen Projektion ${ℝ}^2\to ℝP^1$ erzeugte Abbildung ${ℝ}^2\supset S^1\to S^1\cong ℝP^1$ zwischen Sphären ist die reelle Hopf-Faserung $h_{ℝ}$.
• $ℝP^2$ wird reelle projektive Ebene genannt. Ihre Immersion in ${ℝ}^3$ ist bekannt als Boysche Fläche und es gibt eine Einbettung in ${ℝ}^4$. Das Problem von Immersion und Einbettung des reellen projektiven Raumes $ℝP^n$ ist bereits gut untersucht.
• $ℝP^3$ ist diffeomorph zur Drehgruppe $\mathrm{SO}(3)$ und besitzt daher eine Gruppenstruktur. Die doppelte Überlagerung $S^3\to ℝP^3$ ist dabei topologisch zugrundeliegend für die doppelte Überlagerung $\mathrm{Spin}(3)\to \mathrm{SO}(3)$. (Entsprechend ist $S^3$ diffeomorph zur Spingruppe $\mathrm{Spin}(3)$ und besitzt daher ebenfalls eine Gruppenstruktur.)

Bryant–Kusner-Parametrisierung der Boyschen Fläche

Eigenschaften

• Jede stetige Abbildung $ℝP^n\to ℝP^n$ mit $n$ gerade hat einen Fixpunkt (also $ℝP^n$ die Fixpunkteigenschaft für $n$ gerade). Für $n$ ungerade gilt dies nicht, da dann die Abbildung $ℝP^n\to ℝP^n,[x_0:x_1:....:x_{n-1}:x_n]\mapsto [x_1:-x_0:....:x_n:-x_{n-1}]$ keinen Fixpunkt hat.
• Die reelle projektive Ebene ${ℝ\mathbb{P}}^2$ ist der Moore-Raum $M({\mathbb{Z}}_2,1)$. Ihre $n$-fache Einhängung ${\mathrm{\Sigma }}^nℝP^2$ ist daher der Moore-Raum $M({\mathbb{Z}}_2,n+1)$.
• Die kleinste natürliche Zahl $k\in \mathbb{N}$, sodass $ℝP^n$ mit $n\ne 1,3,7$ eine Einbettung in ${ℝ}^{k-1}$ besitzt, ist genau die topologische Komplexität $\mathrm{TC}(ℝP^n)$ (mit der Konvention $\mathrm{TC}(\{*\})=1$).
• Für $n=1,3,7$ ist $\mathrm{TC}(ℝP^n)=n+1$.

CW-Struktur

Der reelle projektive Raum $ℝP^n$ ist ein CW-Komplex. $ℝP^n$ entsteht aus $ℝP^{n-1}$ durch Anklebung einer $n$-Zelle. Da $ℝP^0$ aus einer $0$-Zelle besteht, hat die CW-Struktur auf $ℝP^n$ daher eine Zelle in jeder Dimension $k$ von $0\le k\le n$.

Algebraische Topologie

Homotopie

Die Homotopiegruppen des reellen projektiven Raumes $ℝP^n$ lassen sich über die lange exakte Sequenz von Homotopiegruppen des Faserbündels $S^0\to S^n\to ℝP^n$ berechnen und sind gegeben durch:

${\pi }_k(ℝP^n)=\{\begin{array}{cc}0& ;k=0\\ \mathbb{Z}& ;k=1,n=1\\ {\mathbb{Z}}_2& ;k=1,n>1\\ {\pi }_k(S^n)& ;k>1,n>0\end{array}.$

Homologie

Die Homologiegruppen des reellen projektiven Raumes $ℝP^n$ lassen sich über zelluläre Homologie aus dessen CW-Struktur berechnen und sind gegeben durch:

$H_k(ℝP^n)\cong \{\begin{array}{cc}\mathbb{Z}& ;k=0\text{ oder }k=n\text{ wenn ungerade}\\ {\mathbb{Z}}_2& ;k\text{ ungerade},0<k<n\\ 1& ;\text{sonst.}\end{array}.$

Es ist also $H_{n-1}(ℝP^n)\cong {\mathbb{Z}}_2$ für $n$ gerade und $H_{n-1}(ℝP^n)\cong 1$ für $n$ ungerade. Daraus folgt, dass $ℝP^n$ genau dann orientierbar ist, wenn $n$ ungerade ist.

Kohomologie

Die Kohomologiegruppen des reellen projektiven Raumes $ℝP^n$ sind gegeben durch:

$H^k(ℝP^n)\cong \{\begin{array}{cc}\mathbb{Z}& ;k=0\text{ oder }k=n\text{ wenn ungerade}\\ {\mathbb{Z}}_2& ;k\text{ ungerade},0<k<n\\ 1& ;\text{sonst.}\end{array}.$

Für den Kohomologiering gilt:

$H^{*}(ℝP^n;{\mathbb{Z}}_2)={\mathbb{Z}}_2[w_1]/(w_1^{n+1}),$

wobei $w_1$ die erste Stiefel–Whitney-Klasse ist.

K-Theorie

Tautologisches Linienbündel

Es gibt ein kanonisches Linienbündel über dem reellen projektiven Raum $ℝP^n$, da dessen Punkte per Konstruktion aus eindimensionalen Untervektorräumen bestehen, definiert durch:

${\gamma }_{ℝ}^{1,n}:=\{(x,V)\in {ℝ}^{n+1}\times ℝP^n|x\in V\}$

${\pi }_{ℝ}^{1,n}:{\gamma }_{ℝ}^{1,n}\to ℝP^n,(x,V)\mapsto V.$

Das ist ein Spezialfall des tautologischen Vektorbündels über Graßmann-Mannigfaltigkeiten.

Tangentialbündel

Für das Tangentialbündel des reellen projektiven Raumes $ℝP^n$ gilt:

$TℝP^n\oplus \underset{\_}{ℝ}\cong ({\gamma }_{ℝ}^{1,n}{)}^{n+1}.$

Unendlicher reeller projektiver Raum

Die kanonische Inklusion ${ℝ}^{n+1}\hookrightarrow {ℝ}^{n+2},x\mapsto (x,0)$ erzeugt eine wohldefinierte kanonische Inklusion $ℝP^n\hookrightarrow ℝP^{n+1},[x]\mapsto [(x,0)]$. Der direkte Limes dieser Kette an Inklusionen wird als:

$ℝP^{\mathrm{\infty }}:=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }ℝP^n$

bezeichnet und unendlicher reeller projektiver Raum genannt.

Das obige Faserbündel $S^0\to S^n\to ℝP^n$ erzeugt durch direkten Limes ein Faserbündel $S^0\to S^{\mathrm{\infty }}\to ℝP^{\mathrm{\infty }}$. Da die unendlich-dimensionale Sphäre $S^{\mathrm{\infty }}$ zusammenziehbar ist (also alle Homotopiegruppen verschwinden), folgt aus der langen exakten Sequenz von Homotopiegruppen für die des unendlich reellen projektiven Raumes $ℝP^{\mathrm{\infty }}$:

${\pi }_k(ℝP^{\mathrm{\infty }})\cong {\pi }_{k-1}(S^0)=\{\begin{array}{cc}{\mathbb{Z}}_2& ;k=1\\ 1& ;\text{sonst.}\end{array}.$

Die CW-Struktur überträgt sich ebenfalls durch den direkten Limes, sodass der unendliche reelle projektive Raum $ℝP^{\mathrm{\infty }}$ eine CW-Struktur mit einer Zelle in jeder Dimension hat.

Das tautologische Linienbündel lässt sich durch den direkten Limes ${\gamma }_{ℝ}^1:=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\gamma }_{ℝ}^{1,n}$ über die kanonischen Inklusionen ${\gamma }_{ℝ}^{1,n}\hookrightarrow {\gamma }_{ℝ}^{1,n+1},(x,V)\mapsto ((x,0),V\times \{0\})$ auf $ℝP^{\mathrm{\infty }}$ fortsetzen und ist ein Spezialfall eines universellen Vektorbündels. Die Namensgebung kommt daher, dass sich jedes reelle Linienbündel als zurückgezogenes Vektorbündel aus diesem erhalten lässt, also für jedes reelle Linienbündel $\pi :E\to B$ mit $B$ parakompakt (bis auf Homotopie) eine klassifizierende Abbildung $f:B\to ℝP^{\mathrm{\infty }}$ existiert, sodass $\pi =f^{*}{\pi }_{ℝ}^1$. Es gibt daher eine Isomorphie von Mengen:

${\mathrm{Vect}}_{ℝ}^1(B)\cong [B,ℝP^{\mathrm{\infty }}].$

Etwa ist der Rückzug des universellen Vektorbündels ${\gamma }_{ℝ}^1$ entlang der kanonischen Inklusion $ℝP^n\hookrightarrow ℝP^{\mathrm{\infty }}$ (also $B=ℝP^n$) wieder das tautologische Linienbündel ${\gamma }_{ℝ}^{1,n}$.

$ℝP^{\mathrm{\infty }}$ ist $\mathrm{BO}(1)$, der klassifizierende Raum von $\mathrm{O}(1)$, der ersten orthogonalen Gruppe, und dadurch ebenso $K({\mathbb{Z}}_2,1)$, der erste Eilenberg–MacLane-Raum von ${\pi }_0\mathrm{O}(1)\cong {\mathbb{Z}}_2$ wie oben bereits gezeigt. Das bedeutet, dass $ℝP^{\mathrm{\infty }}$ die erste singuläre Kohomologie mit Koeffizienten in ${\mathbb{Z}}_2$ darstellt (vergleiche mit dem Brownschen Darstellungssatz), also für topologische Räume $B$ mit dem Homotopietyp eines CW-Komplexes (also insbesondere parakompakt) sogar spezieller gilt:

${\mathrm{Vect}}_{ℝ}^1(B)\cong [B,ℝP^{\mathrm{\infty }}]\cong H^1(B;{\mathbb{Z}}_2).$

Dabei ist der Isomorphismus (Homomorphismus, falls $B$ nicht vom Homotopietyp eines CW-Komplexes ist) durch die erste Stiefel–Whitney-Klasse $w_1:{\mathrm{Vect}}_{ℝ}^1(B)\to H^1(B;{\mathbb{Z}}_2)$ gegeben.

Der Kohomologiering des unendlich reellen projektiven Raumes $ℝP^{\mathrm{\infty }}$ mit Koeffizienten in ${\mathbb{Z}}_2$ ist gegeben durch:

$H^{*}(ℝP^{\mathrm{\infty }};{\mathbb{Z}}_2)={\mathbb{Z}}_2[w_1],$

wobei $w_1$ die erste Stiefel–Whitney-Klasse ist. Das folgt direkt aus dem allgemeineren Resultat für den klassifizierenden Raum von $\mathrm{O}(n)$:

$H^{*}(\mathrm{BO}(n);{\mathbb{Z}}_2)={\mathbb{Z}}_2[w_1,\dots ,w_n].$

Siehe auch

• Komplexer projektiver Raum
• Quaternionischer projektiver Raum
• Oktonionischer projektiver Raum

Literatur

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Weblinks

• Reeller projektiver Raum auf nLab (englisch)