Moore-Raum

In der algebraischen Topologie ist ein Moore-Raum ein CW-Komplex, der nur in einem einzigen Grad eine nichttriviale reduzierte Homologiegruppe hat. Er ist daher die homologische Analogie eines Eilenberg-MacLane-Raumes in der Homotopietheorie, der nur in einem einzigen Grad eine nichttriviale Homotopiegruppe hat.

Definition

Für eine abelsche Gruppe $G$ und eine natürliche Zahl $n\ge 1$ ist ein CW-Komplex $X$, der für $n>1$ zusätzlich einfach zusammenhängend (das heißt wegzusammenhängend mit trivialer Fundamentalgruppe) sein soll, ein Moore-Raum, wenn die reduzierten singulären Homologiegruppen

${\tilde{H}}_k(X;\mathbb{Z})=\{\begin{array}{cc}0& ;k\ne n\\ G& ;k=n\end{array}$

erfüllen. Ein solcher Raum ist bis auf Homotopieäquivalenz eindeutig und wird daher mit $M(G,n)$ bezeichnet. Dieses Resultat würde ohne die beiden Eigenschaften, ein einfach zusammenhängender CW-Komplex zu sein, nicht gelten.

Lemmata

• Die Einhängung eines Moore-Raumes ist wieder ein Moore-Raum, da dieser den Grad der Homologie um eins hinauf verschiebt. Für eine Gruppe $G$ und $n\ge 1$ ist $\mathrm{\Sigma }M(G,n)$ der Moore-Raum $M(G,n+1)$.
• Das unendliche symmetrische Produkt $\mathrm{SP}$ eines Moore-Raumes ist ein Eilenberg–MacLane-Raum, da dessen Nachkomposition mit der $n$-ten Homotopiegruppe ${\pi }_n$ genau die $n$-te (integrale) Homologiegruppe $H_n(-;\mathbb{Z})$ ist (Satz von Dold-Thom). Für eine Gruppe $G$ und $n\ge 1$ ist $\mathrm{SP}M(G,n)$ der Eilenberg–MacLane-Raum $K(G,n)$.
• Für eine Gruppe $G$ und $n\ge 1$ ist der Moore-Raum $M(G,n)$ aufgrund induktiver Anwendung des Satzes von Hurewicz sogar $n-1$-zusammenhängend mit ${\pi }_{n}M(G,n)\cong G$.

Beispiele

• Die $n$-Sphäre $S^n$ ist der Moore-Raum $M(\mathbb{Z},n)$ für $n\ge 1$.
• Die reelle projektive Ebene ${ℝ\mathbb{P}}^2$ ist der Moore-Raum $M({\mathbb{Z}}_2,1)$. Ihre $n$-fache Einhängung ${\mathrm{\Sigma }}^nℝP^2$ ist daher der Moore-Raum $M({\mathbb{Z}}_2,n+1)$.

Siehe auch

• Homologiesphäre, ein spezieller Moore-Raum.
• Eilenberg–MacLane-Raum, das analoge Konzept für Homotopie.
• Peterson-Raum, das analoge Konzept für reduzierte Kohomologie.

Literatur

• Allen Hatcher. Algebraic topology, Cambridge University Press (2002), Für die Diskussion über Moore-Räume siehe Chapter 2, Example 2.40. Eine kostenlose digitale Version ist verfügbar auf der Webseite des Autors.