Überlagerung (Topologie)

Die Überlagerung eines topologischen Raums $X$ ist eine stetige Abbildung $\pi :E\to X$ mit speziellen Eigenschaften.

Definition

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Anschaulich kann man sich eine Überlagerung so vorstellen, dass man den Überlagerungsraum auf dem Ausgangsraum drauflegt.

Sei $X$ ein topologischer Raum. Eine Überlagerung von $X$ ist eine stetige surjektive Abbildung

$\pi :E\to X$,

sodass es einen diskreten Raum $D$ gibt und für jedes $x\in X$ eine offene Umgebung $U\subset X$ gibt, sodass

${\pi }^{-1}(U)=\underset{d\in D}{⨆}{V}_d$

und die Abbildung $\pi {|}_{V_d}:V_d\to U$ für jedes $d\in D$ ein Homöomorphismus ist.

Oft wird der Begriff der Überlagerung auch für den Überlagerungsraum $E$ benutzt. Die offenen Mengen $V_d$ werden Blätter genannt und sind, vorausgesetzt die offene Umgebung $U$ ist zusammenhängend, eindeutig durch $U$ bestimmt. ${S.56}^{}$ Für ein $x\in U$ heißt die diskrete Teilmenge ${\pi }^{-1}(x)$ die Faser von $x$. Der Grad der Überlagerung ist die Kardinalität des Raumes $D$. Im Falle eines endlichen Grades spricht man von einer endlichen Überlagerung. Ist $E$ wegzusammenhängend, so wird $\pi$ als wegzusammenhängende Überlagerung bezeichnet.

Beispiele

• Für jeden topologischen Raum $X$ existiert die triviale Überlagerung $\pi :X\to X$ mit $\pi (x)=x$.

Datei:Covering map.svg

Der Raum $Y=[0,1]\times ℝ$ ist eine Überlagerung von $X=[0,1]\times S^1$, die paarweise disjunkten Mengen $S_i$ werden homöomorph auf $U$ abgebildet. Die Faser des Punktes $x$ besteht aus den Punkten $y_i$.

• Die Abbildung $r:ℝ\to S^1$ mit $r(t)=(\cos (2\pi t),\sin (2\pi t))$ ist eine (nicht triviale) Überlagerung des Einheitskreises $S^1$ in ${ℝ}^2$. Hierbei gilt beispielsweise für eine offene Umgebung $U$ eines $x\in S^1$ mit positivem $\cos (2\pi t)$-Wert: $r^{-1}(U)\subset \underset{n\in \mathbb{Z}}{⨆}(n-\frac{1}{4},n+\frac{1}{4})$.

• Für jedes $n\in \mathbb{N}$ ist die Abbildung $q:S^1\to S^1$ mit $q(z)=z^n$ eine weitere Überlagerung des Einheitskreises. Für eine offene Umgebung $U$ eines $z\in S^1$ gilt: $q^{-1}(U)=\underset{i=1}{\overset{n}{⨆}}U$.

• Ein Gegenbeispiel, welches zwar ein lokaler Homöomorphismus aber keine Überlagerung des Einheitskreises ist, ist die Abbildung $p:{ℝ}_{\mathbb{+}}\to S^1$ mit $p(t)=(\cos (2\pi t),\sin (2\pi t))$. Hierbei wird ein Blatt von $p^{-1}(U)$, wobei $U$ eine offene Umgebung von $(1,0)$ ist, nicht homöomorph unter $p$ auf $U$ abgebildet.

Eigenschaften

Lokaler Homöomorphismus

Da eine Überlagerung $\pi :E\to X$ die paarweise disjunkten, offenen Mengen von ${\pi }^{-1}(U)$ jeweils homöomorph auf die offene Menge $U$ abbildet, ist sie ein lokaler Homöomorphismus, i.e. $\pi$ ist eine stetige Abbildung, sodass für jedes $e\in E$ eine offene Umgebung $V\subset E$ existiert, sodass $\pi {|}_V:V\to \pi (V)$ ein Homöomorphismus ist. Daraus folgt, dass der Überlagerungsraum und der Ausgangsraum lokal die gleichen Eigenschaften haben:

• Ist $X$ eine zusammenhängende und nicht-orientierbare Mannigfaltigkeit, dann gibt es eine zusammenhängende Überlagerung $\pi :\tilde{X}\to X$, wobei $\tilde{X}$ eine zusammenhängende und orientierbare Mannigfaltigkeit ist. ${S.234}^{}$
• Ist $X$ eine zusammenhängende Lie-Gruppe, so gibt es einen Lie-Gruppen-Homomorphismus $\pi :\tilde{X}\to X$, mit $\tilde{X}:=\{\gamma :\gamma \text{ ist ein Weg in X mit }\gamma (0)=1_{𝑿}\}/\text{ Homotopie mit festen Enden}$, der gleichzeitig eine Überlagerung ist. ${S.174}^{}$
• Ist $X$ ein Graph, dann gilt für eine Überlagerung $\pi :E\to X$, dass $E$ auch ein Graph ist. ${S.85}^{}$
• Ist $X$ eine zusammenhängende Mannigfaltigkeit, dann gibt es eine Überlagerung $\pi :\tilde{X}\to X$, wobei $\tilde{X}$ eine zusammenhängende und einfach-zusammenhängende Mannigfaltigkeit ist. ${S.32}^{}$
• Ist $X$ eine zusammenhängende Riemannsche Fläche, dann gibt es eine holomorphe Abbildung ${S.22}^{}$ $\pi :\tilde{X}\to X$, welche gleichzeitig eine Überlagerung ist und $\tilde{X}$ ist eine zusammenhängende und einfach-zusammenhängende Riemannsche Fläche. ${S.32}^{}$

Produkt von Überlagerungen

Seien $X$ und $X^{\prime }$ topologische Räume und $p:E\to X$ und $p^{\prime }:E^{\prime }\to X^{\prime }$ Überlagerungen, dann ist $p\times p^{\prime }:E\times E^{\prime }\to X\times X^{\prime }$ mit $(p\times p^{\prime })(e,e^{\prime })=(p(e),p^{\prime }(e^{\prime }))$ eine Überlagerung von $X\times X^{\prime }$. ${S.339}^{}$

Faktorisierung

Seien $p,q$ und $r$ stetige Abbildung, sodass das Diagram

Datei:Commutativ coverings.png

kommutiert.

• Sind $p$ und $q$ Überlagerung, so auch $r$. ${S.485}^{}$
• Sind $p$ und $r$ Überlagerung, so auch $q$. ${S.485}^{}$

Äquivalenz von Überlagerungen

Sei $X$ ein topologischer Raum und $p:E\to X$ und $p^{\prime }:E^{\prime }\to X$ Überlagerungen. Die Überlagerungen sind zueinander äquivalent, wenn es einen Homöomorphismus $h:E\to E^{\prime }$ gibt, sodass das Diagramm

Datei:Kommutatives Diagramm Äquivalenz von Überlagerungen.png

kommutiert. Solch ein Homöomorphismus wird auch als ein Isomorphismus zwischen Überlagerungsräumen bezeichnet.

Hochhebungseigenschaft

Eine wichtige Eigenschaft der Überlagerung ist, dass sie die Hochhebungseigenschaft erfüllt:

Sei $I$ das Einheitsintervall $[0,1]$ und $p:E\to X$ eine zusammenhängende Überlagerung. Sei $F:Y\times I\to X$ eine stetige Abbildung und $\tilde{F}:Y\times \{0\}\to E$ ein Lift von $F{|}_{Y\times \{0\}}$, i.e. eine stetige Abbildung, sodass $p\circ \tilde{F}=F{|}_{Y\times \{0\}}$, dann gibt es eine eindeutig definierte, stetige Abbildung $\tilde{F}:Y\times I\to E$, welche $F$ hochhebt (liftet), i. e. $p\circ \tilde{F}=F$. ${S.60}^{}$

Ist $X$ ein wegzusammenhängender Raum, so ist für $Y=\{0\}$ die Abbildung $\tilde{F}$ die Hochhebung eines Weges in $X$ und für $Y=I$ die Hochhebung einer Homotopie von Wegen in $X$.

Mithilfe der Hochhebungseigenschaft lässt sich beispielsweise zeigen, dass die Fundamentalgruppe ${\pi }_1(S^1)$ des Einheitskreises eine unendliche, zyklische Gruppe ist, welche von der Homotopieklasse der Schleife $\gamma :I\to S^1$ mit $\gamma (t)=(\cos (2\pi t),\sin (2\pi t))$ erzeugt wird. ${S.29}^{}$

Ist $X$ ein wegzusammenhängender Raum und $p:E\to X$ eine zusammenhängende Überlagerung, so gilt für je zwei Punkte $x,y\in X$, die durch einen Weg $\gamma$ verbunden sind, dass man durch die Hochhebung $\tilde{\gamma }$ von $\gamma$ eine bijektive Abbildung

$L_{\gamma }:p^{-1}(x)\to p^{-1}(y)$, $L_{\gamma }(\tilde{\gamma }(0))=\tilde{\gamma }(1)$

zwischen den Fasern von $x$ und $y$ erhält. ${S.69}^{}$

Ist $X$ ein wegzusammenhängender Raum und $p:E\to X$ eine zusammenhängende Überlagerung, dann ist der durch $p$ induzierte Gruppenhomomorphismus

$p_{\mathrm{\#}}:{\pi }_1(E)\to {\pi }_1(X)$ mit $p_{\mathrm{\#}}([\gamma ])=[p\circ \gamma ]$

injektiv. Die Elemente der Untergruppe $p_{\mathrm{\#}}({\pi }_1(E))$ sind die Homotopieklassen der geschlossenen Wegen in $X$, deren Hochhebung geschlossene Wege in $E$ sind. ${S.61}^{}$

Verzweigte Überlagerung

Definitionen

Holomorphe Abbildungen zwischen Riemannschen Flächen

Seien $X$ und $Y$ Riemannsche Flächen, i.e. ein-dimensionale, komplexe Mannigfaltigkeiten und $f:X\to Y$ eine stetige Abbildung. Die Abbildung $f$ ist holomorph in einem Punkt $x\in X$, wenn für jede Karte ${\varphi }_x:U_1\to V_1$ von $x$ und ${\varphi }_{f(x)}:U_2\to V_2$ von $f(x)$, mit ${\varphi }_x(U_1)\subset U_2$, die Abbildung ${\varphi }_{f(x)}\circ f\circ {\varphi }_x^{-1}:ℂ\to ℂ$ holomorph ist.

$f$ ist holomorph, wenn $f$ auf ganz $X$ holomorph ist.

Die Funktion $F={\varphi }_{f(x)}\circ f\circ {\varphi }_x^{-1}$ heißt die lokale Darstellung von $f$ in $x\in X$.

Ist $f:X\to Y$ eine nicht-konstante, holomorphe Abbildung zwischen kompakten Riemannschen Flächen, dann ist $f$ surjektiv ${S.11}^{}$ und eine offene Abbildung ${S.11}^{}$, d. h. für jede offene Menge $U\subset X$ ist das Bild $f(U)$ ebenfalls offen.

Verzweigungspunkt

Sei $f:X\to Y$ eine nicht-konstante, holomorphe Abbildung zwischen Riemannschen Flächen. Für jedes $x\in X$ gibt es Karten für $x$ und $f(x)$ und es existiert ein $k_x\in {\mathbb{N}}_{>\mathrm{𝟘}}$, sodass die lokale Darstellung von $f$ in $x$ von der Form $z\mapsto z^{k_x}$ ist. ${S.10}^{}$ Dieses $k_x\in \mathbb{N}$ wird als Verzweigungsindex von $f$ in $x$ bezeichnet. Ein Punkt $y=f(x)\in Y$ heißt Verzweigungspunkt von $f$, wenn $k_x\ge 2$.

Grad einer holomorphen Abbildung

Der Grad $deg(f)$ einer nicht-konstante, holomorphe Abbildung $f:X\to Y$ zwischen kompakten Riemannschen Flächen ist die Kardinalität der Faser eines nicht-Verzweigungspunktes $y\in Y$, i. e. $deg(f):=|f^{-1}(y)|$.

Diese Zahl ist endlich, da für jedes $y\in Y$ die Faser $f^{-1}(y)$ diskret ist ${S.20}^{}$ und sie ist wohldefiniert, da für je zwei $y_1,y_2\in Y$, welche keine Verzweigungspunkte sind, gilt: $|f^{-1}(y_1)|=|f^{-1}(y_2)|$. ${S.29}^{}$

Für $deg(f)=d$ gilt:

$\sum _{x\in f^{-1}(y)}{k}_x=d$ ${S.29}^{}$

Verzweigte Überlagerung

Definition

Eine stetige Abbildung $f:X\to Y$ wird verzweigte Überlagerung genannt, wenn es eine abgeschlossene Menge $E\subset Y$ mit dichtem Komplement gibt, sodass $f_{|X\setminus f^{-1}(E)}:X\setminus f^{-1}(E)\to Y\setminus E$ eine Überlagerung ist.

Beispiele

• Sei $n\in \mathbb{N}$ und $n\ge 2$, dann ist $f:ℂ\to ℂ$ mit $f(z)=z^n$ ist eine $n$-fache verzweigte Überlagerung von $ℂ$, wobei $z=0$ ein Verzweigungspunkt ist.

• Jede nicht-konstante, holomorphe Abbildung $f:X\to Y$ zwischen kompakten Riemannschen Flächen vom Grad $d$ ist eine verzweigte $d$-fache Überlagerung.

Universelle Überlagerung

Sei

$p:\tilde{X}\to X$

eine einfach-zusammenhängende Überlagerung und

$\beta :E\to X$

eine Überlagerung, dann existiert eine eindeutig definierte Überlagerung

$\alpha :\tilde{X}\to E$

, sodass das Diagramm

Datei:Universelle Überlagerung 2.0.png

kommutiert.

${S.486}^{}$

Definition

Sei

$p:\tilde{X}\to X$

eine einfach-zusammenhängende Überlagerung. Ist

$\beta :E\to X$

eine weitere einfach-zusammenhängende Überlagerung von

$X$

, dann existiert ein eindeutig definierter Homöomorphismus

$\alpha :\tilde{X}\to E$

, der das Diagramm

Datei:Universelle Überlagerung 2.0.png

kommutieren lässt. ${S.482}^{}$ Damit ist $p$ bis auf Isomorphismen zwischen Überlagerungsräumen eindeutig bestimmt und wird aufgrund dieser universellen Eigenschaft die universelle Überlagerung von $X$ genannt.

Existenz

Die folgenden Kriterien garantieren die Existenz der universellen Überlagerung, da diese nicht für alle topologischen Räume existiert:

Sei $X$ zusammenhängend und lokal einfach-zusammenhängend, dann gibt es eine universelle Überlagerung $p:\tilde{X}\to X$.

$\tilde{X}$ ist definiert als $\tilde{X}:=\{\gamma :\gamma \text{ ist ein Weg in }X\text{ mit }\gamma (0)=x_0\}/\text{ Homotopie mit festen Enden}$ und $p:\tilde{X}\to X$ als $p([\gamma ])=\gamma (1)$. ${S.64}^{}$

Die Topologie auf $\tilde{X}$ erhält man wie folgt: Für ein Weg $\gamma :I\to X$ mit $\gamma (0)=x_0$ besitzt der Endpunkt $x$ eine einfach-zusammenhängende Umgebung $U$, in der für jedes $y\in U$ die Wege ${\sigma }_y$ in $U$ von $x$ nach $y$ bis auf Homotopie eindeutig definiert sind. Setzt man $\tilde{U}:=\{\gamma .{\sigma }_y:y\in U\}/\text{ Homotopie mit festen Enden}$, so ist $p_{|\tilde{U}}:\tilde{U}\to U$ mit $p([\gamma .{\sigma }_y])=\gamma .{\sigma }_y(1)=y$ eine Bijektion und $\tilde{U}$ kann mit der Finaltopologie von $p_{|\tilde{U}}$ versehen werden.

Die Fundamentalgruppe ${\pi }_1(X,x_0)=\mathrm{\Gamma }$ operiert durch $([\gamma ],[\tilde{x}])\mapsto [\gamma .\tilde{x}]$ frei auf $\tilde{X}$ und $\psi :\mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }\tilde{X}\to X:\mathrm{\Gamma }\tilde{x}\mapsto \tilde{x}(1)$ ist ein Homöomorphismus, i. e. $\mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }\tilde{X}\cong X.$

Beispiele

• $r:ℝ\to S^1$ mit $r(t)=(\cos (2\pi t),\sin (2\pi t))$ ist die universelle Überlagerung der $S^1$.
• Sei $n\in \mathbb{N}$. Die Abbildung $p:S^n\to ℝP^n\cong \{+1,-1\}\mathrm{\setminus }{S}^n$ mit $p(x)=[x]$ ist für $n>1$ die universelle Überlagerung des projektiven Raumes $ℝP^n$ .
• $q:SU(n)⋉ℝ\to U(n)$ mit $q(A,t)=\left[\begin{array}{cc}\exp (2\pi it)& 0\\ 0& I_{n-1}\end{array}\right]A$ ist die universelle Überlagerung der unitären Gruppe $U(n)$.
• Weil $SU(2)\cong S^3$, ist die Abbildung $f:SU(2)\to {\mathbb{Z}}_{\mathrm{𝟚}}\mathrm{\setminus }SU(2)\cong SO(3)$ die universelle Überlagerung der $SO(3)$.

  Datei:Hawaiian Earrings.svg

• Ein Raum, welcher keine universelle Überlagerung besitzt, ist der sogenannte Hawaiischer Ohrring

$X=\bigcup _{n\in \mathbb{N}}\{(x_1,x_2)\in {ℝ}^2:(x_1-\frac{1}{n}{)}^2+x_2^2=\frac{1}{n^2}\}$. Hierbei handelt es sich um eine abzählbare Vereinigung von Kreisen $C_n$ mit Radius $\frac{1}{n}$, welche alle durch den Ursprung gehen. Es lässt sich zeigen, dass keine Umgebung des Ursprungs einfach-zusammenhängend ist. ${S.487}^{}$

Decktransformation

Definition

Sei $X$ ein topologischer Raum und $p:E\to X$ eine Überlagerung. Eine Decktransformation ist ein Homöomorphismus $d:E\to E$, sodass das Diagramm

Datei:Diagramm Decktrafo.png

kommutiert. Die Menge der Decktransformation bildet mit der Komposition von Abbildungen eine Gruppe $Deck(p)$, welche gleich der Automorphismengruppe $Aut(p)$ ist.

Beispiele

• Sei $n\in \mathbb{N}$ und $q:S^1\to S^1$ die Überlagerung $q(z)=z^n$, dann ist die Abbildung $d:S^1\to S^1:z\mapsto z{e}^{2\pi i/n}$ eine Decktransformation und $Deck(q)\cong \mathbb{Z}/𝕟\mathbb{Z}$.

• Sei $r:ℝ\to S^1$ die Überlagerung $r(t)=(\cos (2\pi t),\sin (2\pi t))$, dann ist die Abbildung $d_k:ℝ\to ℝ:t\mapsto t+k$ mit $k\in \mathbb{Z}$ eine Decktransformation und $Deck(r)\cong \mathbb{Z}$.

Eigenschaften

Sei $X$ ein wegzusammenhängender Raum und $p:E\to X$ eine zusammenhängende Überlagerung. Da eine Decktransformation $d:E\to E$ bijektiv ist, wird jedes Element einer Faser $p^{-1}(x)$ permutiert und die Abbildung ist dadurch eindeutig definiert, wie sie einen einzelnen Punkt aus der Faser abbildet. Insbesondere fixiert nur die triviale Decktransformation, i.e. $i{d}_E$, einen Punkt in der Faser. ${S.70}^{}$ Damit definiert die Gruppe der Decktransformationen eine Gruppenoperation auf jeder Faser, u.z. für eine offene Umgebung $U\subset X$ eines $x\in X$ und eine offene Umgebung $\tilde{U}\subset E$ eines $e\in p^{-1}(x)$ gilt: $Deck(p)\times E\to E:(d,\tilde{U})\mapsto d(\tilde{U})$ ist eine Gruppenoperation.

Normale Überlagerungen

Definition

Eine Überlagerung $p:E\to X$ heißt normal, wenn $Deck(p)\mathrm{\setminus }E\cong X$. Das bedeutet, dass es für jedes $x\in X$ und für je zwei $e_0,e_1\in p^{-1}(x)$ eine Decktransformation $d:E\to E$ gibt, sodass $d(e_0)=e_1$. Diese Überlagerungen werden auch regulär genannt.

Eigenschaften

Sei $X$ ein wegzusammenhängender Raum und $p:E\to X$ eine zusammenhängende Überlagerung. Sei $H=p_{\mathrm{\#}}({\pi }_1(E))$ eine Untergruppe von ${\pi }_1(X)$, dann ist die Überlagerung $p$ genau dann normal, wenn $H$ eine normale Untergruppe von ${\pi }_1(X)$ ist. ${S.71}^{}$

Sei $p:E\to X$ eine normale Überlagerung und $H=p_{\mathrm{\#}}({\pi }_1(E))$, dann ist $Deck(p)\cong {\pi }_1(X)/H$. ${S.71}^{}$

Sei $p:E\to X$ eine wegzusammenhängende Überlagerung und $H=p_{\mathrm{\#}}({\pi }_1(E))$, dann ist $Deck(p)$ $\cong$ $N(H)/H$, wobei $N(H)$ der Normalisator von $H$ ist. ${S.71}^{}$

Sei $E$ ein topologischer Raum. Eine Gruppe $\mathrm{\Gamma }$ operiert diskontinuierlich auf $E$, wenn für jedes $e\in E$ und jede offene Umgebung $V\subset E$ von $e$ mit $V\ne \mathrm{\varnothing }$ gilt, dass für jedes $\gamma \in \mathrm{\Gamma }$ mit $\gamma V\cap V\ne \mathrm{\varnothing }$ folgt, dass $\gamma =1$.

Operiert nun eine Gruppe $\mathrm{\Gamma }$ diskontinuierlich auf einem topologischen Raum $E$, so ist die Quotientenabbildung $q:E\to \mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }E$ mit $q(e)=\mathrm{\Gamma }e$ eine normale Überlagerung. ${S.72}^{}$ Dabei ist $\mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }E=\{\mathrm{\Gamma }e:e\in E\}$ der Quotientenraum und $\mathrm{\Gamma }e=\{\gamma (e):\gamma \in \mathrm{\Gamma }\}$ die Bahn der Gruppenoperation.

Beispiele

• Die Überlagerung $q:S^1\to S^1$ mit $q(z)=z^n$ ist eine normale Überlagerung für alle $n\in \mathbb{N}$.
• Jede einfach-zusammenhängende Überlagerung ist eine normale Überlagerung.

Berechnung von Decktransformationsgruppen

Sei $\mathrm{\Gamma }$ eine Gruppe, die diskontinuierlich auf einem topologischen Raum $E$ operiert und $q:E\to \mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }E$ die normale Überlagerung.

• Ist $E$ wegzusammenhängend, so gilt $Deck(q)\cong \mathrm{\Gamma }$. ${S.72}^{}$

• Ist $E$ einfach-zusammenhängend, so gilt $Deck(q)\cong {\pi }_1(X)$. ${S.71}^{}$

Beispiele

• Sei $n\in \mathbb{N}$. Die antipodale Abbildung $g:S^n\to S^n,g(x)=-x$ generiert zusammen mit der Komposition von Abbildungen eine Gruppe $D(g)\cong \mathbb{Z}/\mathrm{𝟚}\mathbb{Z}$ und induziert eine diskontinuierliche Operation $D(g)\times S^n\to S^n,(g,x)\mapsto g(x)$. Hierbei gilt für den Quotientenraum ${\mathbb{Z}}_{\mathrm{𝟚}}\mathrm{\setminus }{S}^n\cong ℝP^n$. Damit ist $q:S^n\to {\mathbb{Z}}_{\mathrm{𝟚}}\mathrm{\setminus }{S}^n\cong ℝP^n$ eine normale Überlagerung und für $n>1$ die universelle Überlagerung und damit $Deck(q)\cong \mathbb{Z}/\mathrm{𝟚}\mathbb{Z}\cong {\pi }_1(ℝP^n)$ für $n>1$.
• Sei $SO(3)$ die spezielle orthogonale Gruppe, dann ist die Abbildung $f:SU(2)\to SO(3)\cong {\mathbb{Z}}_{\mathrm{𝟚}}\mathrm{\setminus }SU(2)$ eine normale Überlagerung und weil $SU(2)\cong S^3$ ist sie die universelle Überlagerung der $SO(3)$, weshalb gilt: $Deck(f)\cong \mathbb{Z}/\mathrm{𝟚}\mathbb{Z}\cong {\pi }_1(SO(3))$.
• Durch die diskontinuierliche Operation $(z_1,z_2)*(x,y)=(z_1+(-1{)}^{z_2}x,z_2+y)$ von ${\mathbb{Z}}^{\mathrm{𝟚}}$ auf ${ℝ}^{\mathrm{𝟚}}$, wobei ist $({\mathbb{Z}}^{\mathrm{𝟚}},*)$ das semidirekte Produkt $\mathbb{Z}⋊\mathbb{Z}$ ist, erhält man die universelle Überlagerung $f:{ℝ}^{\mathrm{𝟚}}\to (\mathbb{Z}⋊\mathbb{Z})\mathrm{\setminus }{ℝ}^{\mathrm{𝟚}}\cong K$ der Kleinschen Flasche $K$ und damit $Deck(f)\cong \mathbb{Z}⋊\mathbb{Z}\cong {\pi }_1(K)$.
• Sei der Torus $T=S^1\times S^1$ eingebettet in ${ℂ}^{\mathrm{𝟚}}$. Dann erhält man eine durch den Homöomorphismus $\alpha :T\to T:(e^{ix},e^{iy})\mapsto (e^{i(x+\pi )},e^{-iy})$ induzierte diskontinuierliche Gruppenoperation $G_{\alpha }\times T\to T$, wobei $G_{\alpha }\cong \mathbb{Z}/\mathrm{𝟚}\mathbb{Z}$. Damit folgt, dass die Abbildung $f:T\to G_{\alpha }\mathrm{\setminus }T\cong K$ eine normale Überlagerung der Kleinschen Flasche $K$ ist und damit $Deck(f)\cong \mathbb{Z}/\mathrm{𝟚}\mathbb{Z}$.
• Sei $S^3$ in ${ℂ}^{\mathrm{𝟚}}$ eingebettet. Da die Operation $S^3\times \mathbb{Z}/𝕡\mathbb{Z}\to S^3:((z_1,z_2),[k])\mapsto (e^{2\pi ik/p}{z}_1,e^{2\pi ikq/p}{z}_2)$ diskontinuierlich ist, wobei $p,q\in \mathbb{N}$ teilerfremd sind, ist die Abbildung $f:S^3\to {\mathbb{Z}}_{𝕡}\mathrm{\setminus }{S}^3=:L_{p,q}$ eine normale Überlagerung des Linsenraumes und damit $Deck(f)\cong \mathbb{Z}/𝕡\mathbb{Z}\cong {\pi }_1(L_{p,q})$.

Galois-Korrespondenz

Sei $X$ ein zusammenhängender und lokal einfach-zusammenhängender Raum, dann gibt es für jede Untergruppe $H\subseteq {\pi }_1(X)$ eine wegzusammenhängende Überlagerung $\alpha :X_H\to X$ mit ${\alpha }_{\mathrm{\#}}({\pi }_1(X_H))=H$. ${S.66}^{}$ Zwei solche wegzusammenhängenden Überlagerungen $p_1:E\to X$ und $p_2:E^{\prime }\to X$ sind genau dann äquivalent, wenn die Untergruppen $H=p_{1\mathrm{\#}}({\pi }_1(E))$ und $H^{\prime }=p_{2\mathrm{\#}}({\pi }_1(E^{\prime }))$ von ${\pi }_1(X)$ konjugiert zueinander sind. ${S.482}^{}$

Ähnlich wie beim Hauptsatz der Galoistheorie gibt es auch hier einen Zusammenhang zwischen den Untergruppen der Fundamentalgruppe und Überlagerungen des Raumes, u. z.:

Sei $X$ ein zusammenhängender und lokal einfach-zusammenhängender Raum, dann gibt es, bis auf Äquivalenz von Überlagerungen, die Bijektion:

$\begin{array}{ccc}\{\text{Untergruppen von }{\pi }_1(X)\}& ⟷& \{\text{wegzusammenhaengende Überlagerung }p:E\to X\}\\ H& ⟶& \alpha :X_H\to X\\ p_{\mathrm{\#}}({\pi }_1(E))& ⟵& p\\ \{\text{normale Untergruppen von }{\pi }_1(X)\}& ⟷& \{\text{normale Überlagerung }p:E\to X\}\\ H& ⟶& \alpha :X_H\to X\\ p_{\mathrm{\#}}({\pi }_1(E))& ⟵& p\end{array}$

Für eine aufsteigende Sequenz $\{\text{e}\}\subset H\subset G\subset {\pi }_1(X)$ von Untergruppen, ist die Sequenz $\tilde{X}⟶X_H\cong H\mathrm{\setminus }\tilde{X}⟶X_G\cong G\mathrm{\setminus }\tilde{X}⟶X\cong {\pi }_1(X)\mathrm{\setminus }\tilde{X}$

eine Sequenz von Überlagerungen. Für eine Untergruppe $H\subset {\pi }_1(X)$ vom Index $[{\pi }_1(X):H]=d$ ist die Überlagerung $\alpha :X_H\to X$ eine $d$-fache Überlagerung.

Klassifikation

Definitionen

Kategorie von Überlagerungen

Sei

$X$

ein topologischer Raum. Die Objekte der Kategorie

$𝑪𝒐𝒗\mathit{(}𝑿\mathit{)}$

sind Überlagerungen

$p:E\to X$

und die Morphismen sind stetige Abbildungen

$f:E\to F$

, die das Diagramm

kommutieren lassen, wobei

$p:E\to X$

und

$q:F\to X$

Überlagerungen sind.

G-Menge

Sei $G$ eine topologische Gruppe. Die Kategorie $𝑮\mathit{-}𝑴𝒆𝒏𝒈𝒆$ ist die Kategorie der Mengen welche G-Räume sind, i.e. die Objekte der Kategorie sind G-Räume. Die Morphismen der Kategorie sind G-Abbildung $\varphi :X\to Y$ zwischen G-Räumen. Diese erfüllen, für jedes $g\in G$, die Bedingung $\varphi (gx)=g\varphi (x)$.

Äquivalenz dieser Kategorien

Sei $X$ ein zusammenhängender und lokal einfach-zusammenhängender Raum, $x\in X$ und $G={\pi }_1(X,x)$ die Fundamentalgruppe von $X$. $G$ definiert durch die Hochhebung von Wegen und der Auswertung der Hochhebung am Endpunkt eine Gruppenoperation auf der Faser von Überlagerungen. Damit erhält man einen Funktor $F:Cov(X)⟶G-Menge:p\mapsto p^{-1}(x)$, der eine Äquivalenz von Kategorien ist. ${S.68-70}^{}$

Literatur

• Allen Hatcher: Algebraic Topology. Cambridge Univ. Press, Cambridge, ISBN 0-521-79160-X
• Otto Forster: Lectures on Riemann surfaces. Springer Berlin, München 1991, ISBN 978-3-540-90617-9
• James Munkres: Topology. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, Inc., ©2000, ISBN 978-0-13-468951-7
• Wolfgang Kühnel: Matrizen und Lie-Gruppen. Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, Stuttgart, ISBN 978-3-8348-9905-7
• Maximiliano Aguilar and Miguel Socolovsky: The Universal Covering Group of U(n) and Projective Representations. Hrsg.: International Journal of Theoretical Physics. Dezember 1999