Immersion (Mathematik)

Eine nicht injektive Immersion: R → R², t ↦ (t² − 1, t · (t² − 1))

In der Differentialtopologie versteht man unter einer Immersion eine glatte Abbildung $F:M\to N$ zwischen Mannigfaltigkeiten $M$ und $N$, wenn der Pushforward $F_{\ast p}:T_{p}M\to T_{F(p)}N$ dieser Abbildung an jedem Punkt $p\in M$ injektiv ist. Ist darüber hinaus $F$ eine topologische Einbettung, so spricht man von einer (glatten) Einbettung. In diesem Fall ist das Bild der Abbildung eine zu $M$ diffeomorphe Untermannigfaltigkeit von $N.$

Die Eigenschaften des Bildes im allgemeinen Fall werden im Eintrag Immersierte Mannigfaltigkeit beschrieben.

Immersion im euklidischen Raum

Liegt der Spezialfall $F:{ℝ}^m\to {ℝ}^n$ einer Abbildung zwischen euklidischen Räumen vor, dann stellt $F_{\ast }:T_p{ℝ}^m\to T_{F(p)}{ℝ}^n$ nichts anderes als die totale Ableitung bzw. die Jacobi-Matrix $DF(p):{ℝ}^m\to {ℝ}^n$ dar, wobei der euklidische Raum in natürlicher Weise mit seinem Tangentialraum und eine lineare Abbildung mit einer Matrix identifiziert werden.

Immersion in Mannigfaltigkeiten

Allgemein ist eine differenzierbare Abbildung $F:M\to N$ genau dann eine Immersion, wenn für alle $p\in M$ der Rang der linearen Abbildung $F_{\ast }$ gleich der Dimension der Mannigfaltigkeit $M$ ist, also gilt

$\mathrm{rang}{F}_p=\dim (\mathrm{Bild}(F_{\ast p}))=\dim M.$

Reguläre Homotopie

Zwei Immersionen $F_0,F_1:M\to N$ heißen regulär homotop, wenn es eine Homotopie $F:M\times [0,1]\to N$ gibt mit $F(m,0)=F_0(m)$ und $F(m,1)=F_1(m)$ für alle $m\in M$, so dass für jedes $t\in [0,1]$ die Abbildung

$F_t:\{\begin{array}{cc}M& \to N\\ m& \mapsto F(m,t)\end{array}$

wieder eine Immersion ist.

Mit den regulären Homotopieklassen von Immersionen beschäftigt sich die Hirsch-Smale-Theorie.

Siehe auch

• Submersion

Literatur

• John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 218). Springer-Verlag, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-95448-1.