Klassifizierender Raum von O(n)

Der klassifizierende Raum $\mathrm{BO}(n)$ der $n$-ten orthogonalen Lie-Gruppe $\mathrm{O}(n)$ klassifiziert $\mathrm{O}(n)$-Prinzipalbündel (auch $\mathrm{O}(n)$-Hauptfaserbündel genannt). Das bedeutet, dass ein $\mathrm{O}(n)$-Prinzipalbündel über einem parakompakten topologischen Raum eineindeutig einer Homotopieklasse einer stetigen Abbildung von diesem nach $\mathrm{BO}(n)$ entspricht. $\mathrm{BO}(n)$ ist selbst der Basisraum (eng. base space) eines $\mathrm{O}(n)$-Prinzipalbündels, woraus sich die Notation ergibt.

Definition

Es gibt eine kanonische Inklusion von reellen Grassmann-Mannigfaltigkeiten gegeben durch ${\mathrm{Gr}}_n({ℝ}^k)\hookrightarrow {\mathrm{Gr}}_n({ℝ}^{k+1}),V\mapsto V\times \{0\}$. Deren direkter Limes ist:

$\mathrm{BO}(n):={\mathrm{Gr}}_n({ℝ}^{\mathrm{\infty }}):=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\mathrm{Gr}}_n({ℝ}^k).$

Da reelle orientierte Graßmann-Mannigfaltigkeiten sich als homogene Räume ausdrücken lassen durch:

${\mathrm{Gr}}_n({ℝ}^k)=\mathrm{O}(n+k)/(\mathrm{O}(n)\times \mathrm{O}(k))$

überträgt sich die Gruppenstruktur auf $\mathrm{BO}(n)$.

Grundlegender Zusammenhang

Zur Erklärung des obigen Zusammenhangs ist ein weiterer Raum notwendig: Der totale Raum $\mathrm{EO}(n)$ der $n$-ten orthogonalen Lie-Gruppe $\mathrm{O}(n)$ ist schwach zusammenziehbar und verfügt über eine Gruppenwirkung von $\mathrm{O}(n)$, wobei der Orbitraum $\mathrm{EO}(n)/\mathrm{O}(n)$ genau $\mathrm{BO}(n)$ ist. Durch Projektion auf Äquivalenzklassen gibt es daher das spezielle $\mathrm{O}(n)$-Prinzipalbündel $\mathrm{EO}(n)\to \mathrm{BO}(n),x\mapsto [x]$ mit Faser $\mathrm{O}(n)$, welches universelles $\mathrm{O}(n)$-Hauptfaserbündel genannt wird. Jedes $\mathrm{O}(n)$-Hauptfaserbündel auf einem parakompakten topologischen Raum $X$ lässt sich nun durch Rückzug von diesem entlang einer stetigen Abbildung $X\to \mathrm{BO}(n)$ erhalten, wobei homotope Abbildungen das gleiche $\mathrm{O}(n)$-Prinzipalbündel erzeugen. Dadurch existiert eine Bijektion:

${\mathrm{Bund}}_{\mathrm{O}(n)}(X):=\{\mathrm{O}(n)\text{-Prinzipalbündel über }X\}/{\sim }_{\mathrm{i}\mathrm{s}\mathrm{o}}\cong [X,\mathrm{BO}(n)].$

Kleinster klassifizierender Raum

Es ist $\mathrm{O}(1)={\mathbb{Z}}_2$, wobei $\mathrm{BO}(1)=ℝP^{\mathrm{\infty }}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }ℝP^n$ der unendliche reelle projektive Raum ist und $\mathrm{EO}(1)=S^{\mathrm{\infty }}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{S}^n$ die $\mathrm{\infty }$-Sphäre ist. Beide entstehen jeweils als direkter/induktiver Limes der kanonischen Inklusionen $ℝP^n\hookrightarrow ℝP^{n+1}$ beziehungsweise $S^n\hookrightarrow S^{n+1}$. Erstaunlicherweise ist die $\mathrm{\infty }$-Sphäre $S^{\mathrm{\infty }}$ wie oben erwähnt tatsächlich schwach zusammenziehbar und sogar zusammenziehbar, obwohl keine der Sphären $S^n$ (schwach) zusammenziehbar ist.

Kohomologie

Für den Kohomologiering von $\mathrm{BO}(n)$ gilt:

$H^{*}(\mathrm{BO}(n);{\mathbb{Z}}_2)={\mathbb{Z}}_2[w_1,\dots ,w_n].$

Unendlicher klassifizierender Raum

Die kanonische Inklusionen $\mathrm{O}(n)\hookrightarrow \mathrm{O}(n+1)$ induzieren kanonische Inklusionen $\mathrm{BO}(n)\hookrightarrow \mathrm{BO}(n+1)$ auf ihren jeweiligen klassifizierenden Räumen. Die direkten Limiten dieser beiden Ketten an Inklusionen werden jeweils als:

$\mathrm{O}:=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{O}(n)$

$\mathrm{BO}:=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{BO}(n)$

bezeichnet. $\mathrm{BO}$ ist dabei tatsächlich der klassifizierende Raum von $\mathrm{O}$.

Siehe auch

• Klassifizierende Räume
• Klassifizierender Raum von U(n)
• Klassifizierender Raum von SO(n)
• Klassifizierender Raum von SU(n)

Literatur

• Vorlage:Cite book
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Weblinks

• classifying space auf nLab (englisch)
• BO(n) auf nLab (englisch)