Topologische Komplexität

In der Mathematik ist die topologische Komplexität $\mathrm{TC}(X)$ (TC für eng. topological complexity) eines topologischen Raumes $X$ eine topologische Invariante, die von Michael Farber im Jahr 2003 eingeführt wurde.

Definition

Sei $X$ ein topologischer Raum und $PX=C([0,1],X)$ der Wegraum von $X$, also der Raum aller stetigen Wege in $X$. Es gibt eine stetige Projektion $\pi :PX\to X\times X$ durch $\pi (\gamma )=(\gamma (0),\gamma (1))$. Die topologische Komplexität ist die kleinste Nummer $n$, sodass:

• eine offene Überdeckung $(U_i{)}_{i=1}^k$von $X\times X$ existiert,
• für jedes $i=1,\dots ,k$ ein lokaler Schnitt $s_i:U_i\to PX$ existiert, also eine stetige Abbildung mit $\pi \circ s_i={\mathrm{id}}_{U_i}$.

Lemmata

• Ein topologischer Raum $X$ ist genau dann zusammenziehbar, wenn $\mathrm{TC}(X)=1$.
• Die topologische Komplexität hängt mit der Lusternik–Schnirelmann-Kategorie zusammen über:

  $\mathrm{cat}(X)\le \mathrm{TC}(X)\le 2\mathrm{cat}(X)-1$

• Für wegzusammenhängende metrische Räume gilt:

  $\mathrm{TC}(X\times Y)\le \mathrm{TC}(X)+\mathrm{TC}(Y)+1$

Beispiele

• Für die topologische Komplexität der Sphäre $S^n$ gilt:

  $\mathrm{TC}(S^n)=\{\begin{array}{cc}2& \text{für }n\text{ ungerade}\\ 3& \text{für }n\text{ gerade}\end{array}$

• Für die topologische Komplexität des $n$-fachen Produktes von $m$-Sphären gilt:

  $\mathrm{TC}((S^m{)}^n)=\{\begin{array}{cc}n+1& \text{für }m\text{ ungerade}\\ 2n+1& \text{für }m\text{ gerade}\end{array}$

• Insbesondere folgt mit $m=1$ der Spezialfall $\mathrm{TC}(T^n)=n+1$ für die topologische Komplexität der Tori.
• Für die topologische Komplexität der Σ-Flächen gilt:

  $\mathrm{TC}({\mathrm{\Sigma }}_g)=\{\begin{array}{cc}3& ;g\le 1\\ 5& ;g>1\end{array}$

• Es gilt $\mathrm{TC}(ℝP^2)=3$, $\mathrm{TC}(ℂP^2)=\mathrm{TC}(\overline{ℂP^2})=4$ und $\mathrm{TC}(S^2\times S^2)=4$.
• Ist $\mathrm{Conf}({ℝ}^m,n)$ der Konfigurationsraum von $n$ getrennten Punkten im $m$-dimensionalen euklidischen Raum, dann ist:

  $\mathrm{TC}(\mathrm{Conf}({ℝ}^m,n))=\{\begin{array}{cc}2n-1& \text{für }m\text{ ungerade}\\ 2n-2& \text{für }m\text{ gerade}\end{array}$

• Die topologische Komplexität der Kleinschen Flasche ist 5.

Weblinks

• Topologische Komplexität auf nLab (englisch)