Faserung

Der Begriff der Faserung verallgemeinert den Begriff eines Faserbündels und spielt in der algebraischen Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik eine wichtige Rolle.

Anwendung finden Faserungen zum Beispiel in Postnikow-Systemen oder der Obstruktionstheorie.

In diesem Artikel sind alle Abbildungen stetige Abbildungen zwischen topologischen Räumen.

Definitionen

Homotopie-Hochhebungseigenschaft

Eine Abbildung $p:E\to B$ erfüllt die Homotopie-Hochhebungseigenschaft für einen Raum $X$, falls:

• für jede Homotopie $h:X\times [0,1]\to B$ und
• für jede Abbildung (auch Lift genannt) ${\tilde{h}}_0:X\to E,$ die $h_0=h{|}_{X\times 0}$ hochhebt (bzw. liftet) (d. h. $h_0=p\circ {\tilde{h}}_0$),

existiert eine Homotopie $\tilde{h}:X\times [0,1]\to E,$ die $h$ hochhebt (d. h. $h=p\circ \tilde{h}$) mit ${\tilde{h}}_0=\tilde{h}{|}_{X\times 0}.$

Das folgende kommutative Diagramm zeigt die Situation:${[4]S.66}^{}$

Vorlage:Anker Faserung

Eine Faserung (oder auch Hurewicz-Faserung) ist eine Abbildung $p:E\to B,$ welche die Homotopie-Hochhebungseigenschaft für alle Räume $X$ erfüllt. Der Raum $B$ wird Basisraum und der Raum $E$ wird Totalraum genannt. Als Faser über $b\in B$ bezeichnet man den Unterraum $p^{-1}(b)=F_b\subseteq E.$${[4]S.66}^{}$

Vorlage:Anker Serre-Faserung

Eine Serre-Faserung (auch schwache Faserung genannt) ist eine Abbildung $p:E\to B,$ welche die Homotopie-Hochhebungseigenschaft für alle CW-Komplexe erfüllt.${[1]S.375-376}^{}$

Jede Hurewicz-Faserung ist eine Serre-Faserung.

Quasifaserung

Eine Abbildung $p:E\to B$ wird Quasifaserung genannt, falls für jedes $b\in B,$ $e\in p^{-1}(b)$ and $i\ge 0$ gilt, dass die induzierte Abbildung $p_{*}:{\pi }_i(E,p^{-1}(b),e)\to {\pi }_i(B,b)$ ein Isomorphismus ist.

Jede Serre-Faserung ist eine Quasifaserung.${[5]S.241-242}^{}$

Beispiele

• Die Projektion auf den ersten Faktor $p:B\times F\to B$ ist eine Faserung.
• Jede Überlagerung $p:E\to B$ erfüllt die Homotopie-Hochhebungseigenschaft für jeden Raum $X.$ Speziell gibt es für jede Homotopie $h:X\times [0,1]\to B$ und jeden Lift ${\tilde{h}}_0:X\to E$ einen eindeutig definierten Lift $\tilde{h}:X\to B$ mit $p\circ \tilde{h}=h.$${[2]S.159}^{}$${[3]S.50}^{}$
• Faserbündel $p:E\to B$ erfüllen die Homotopie-Hochhebungseigenschaft für alle CW-Komplexe.${[1]S.379}^{}$
• Ein Faserbündel mit parakompaktem Hausdorff Basisraum erfüllt die Homotopie-Hochhebungseigenschaft für alle Räume.${[1]S.379}^{}$
• Eine Faserung, welche kein Faserbündel ist, ist die von der Inklusion $i:\partial I^k\to I^k$ induzierte Abbildung $i^{*}:X^{I^k}\to X^{\partial I^k},$ wobei $k\in \mathbb{N},$ $X$ ein topologischer Raum und $X^A=\{f:A\to X\}$ der Raum aller stetigen Abbildungen mit der Kompakt-Offen-Topologie ist.${[2]S.198}^{}$
• Die Hopf-Faserung $S^1\to S^3\to S^2$ ist ein nicht triviales Faserbündel und speziell eine Serre-Faserung.

Grundlegende Konzepte

Faser-Homotopieäquivalenz

Eine Abbildung $f:E_1\to E_2$ zwischen Totalräumen von zwei Faserungen $p_1:E_1\to B$ und $p_2:E_2\to B$ mit gleichem Basisraum ist ein Faserungs-Homomorphismus, falls das Diagramm

200

kommutiert. Die Abbildung $f$ ist eine Faser-Homotopieäquivalenz, falls zusätzlich ein Faserungs-Homomorphismus $g:E_2\to E_1$ existiert, sodass die Verknüpfungen $f\circ g$ bzw. $g\circ f$ homotop, durch Faserungs-Homomorphismen, zu den Identitäten $I{d}_{E_2}$ bzw. $I{d}_{E_1}$sind.

Pullback-Faserung

Gegeben seien eine Faserung $p:E\to B$ und eine Abbildung $f:A\to B$. Die Abbildung $p_f:f^{*}(E)\to A$ ist eine Faserung, wobei $f^{*}(E)=\{(a,e)\in A\times E|f(a)=p(e)\}$ der Pullback ist und die Projektionen von $f^{*}(E)$ auf $A$ und $E$ das kommutative Diagramm liefern:

Die Faserung $p_f$ wird Pullback-Faserung oder auch induzierte Faserung genannt.

Wegeraum-Faserung

Mit der Wegeraumkonstruktion kann jede stetige Abbildung zu einer Faserung erweitert werden, indem man den Definitionsbereich der Abbildung zu einem homotopieäquivalenten Raum vergrößert. Diese Faserung wird dann Wegeraum-Faserung genannt.

Der Totalraum $E_f$ der Wegeraum-Faserung für eine stetige Abbildung $f:A\to B$ zwischen topologischen Räumen besteht aus Paaren $(a,\gamma )$ mit $a\in A$ und Wegen $\gamma :I\to B$ mit Startpunkt $\gamma (0)=f(a)$, wobei $I=[0,1]$ das Einheitsintervall ist. Der Raum $E_f=\{(a,\gamma )\in A\times B^I|\gamma (0)=f(a)\}$ trägt die Teilraumtopologie von $A\times B^I,$ wobei $B^I$ den Raum aller Abbildungen $I\to B$ beschreibt und die Kompakt-Offen-Topologie trägt.

Die Wegeraum-Faserung ist durch die Abbildung $p:E_f\to B$ mit der Abbildungsvorschrift $p(a,\gamma )=\gamma (1)$ gegeben. Die Faser $F_f$ wird auch Homotopie-Faser von $f$ genannt und besteht aus den Paaren $(a,\gamma )$ mit $a\in A$ und Wegen $\gamma :[0,1]\to B,$ wobei $\gamma (0)=f(a)$ und $\gamma (1)=b_0\in B$ gilt.

Für den Spezialfall der Inklusion des Basispunktes $i:b_0\to B,$ ergibt sich ein wichtiges Beispiel der Wegeraum-Faserung. Der Totalraum $E_i$ besteht aus allen Wegen in $B,$ die am Punkt $b_0$ starten. Dieser Raum wird mit $PB$ gekennzeichnet und Wegeraum genannt. Die Wege-Faserung $p:PB\to B$ ordnet jedem Weg seinen Endpunkt zu, weshalb die Faser $p^{-1}(b_0)$ aus allen geschlossenen Wegen besteht. Die Faser wird mit $\mathrm{\Omega }B$ gekennzeichnet und Schleifenraum genannt.${[1]S.407-408}^{}$

Eigenschaften

• Die Fasern $p^{-1}(b)$ über $b\in B$ sind für die einzelnen Wegzusammenhangskomponenten von $B$ homotopieäquivalent.${[1]S.405}^{}$
• Für eine Homotopie $f:[0,1]\times A\to B$ sind die Pullback Faserungen $f_0^{*}(E)\to A$ und $f_1^{*}(E)\to A$ Faser homotopieäquivalent.${[1]S.406}^{}$
• Ist der Basisraum $B$ zusammenziehbar, dann ist $p:E\to B$ Faser homotopieäquivalent zu einer Produkt Faserung $B\times F\to B.$${[1]S.406}^{}$
• Die Wegeraum-Faserung von $p$ ist sich selbst sehr ähnlich. Genauer gilt: Die Inklusion $E\hookrightarrow E_p$ ist eine Faser-Homotopieäquivalenz.${[1]S.408}^{}$
• Ist der Totalraum $E$ zusammenziehbar, dann gibt es eine schwache Homotopieäquivalenz $F\to \mathrm{\Omega }B.$${[1]S.408}^{}$

Puppe-Sequenz

Für eine Faserung $p:E\to B$ mit Faser $F$ und Basispunkt $b_0\in B$ ist die Inklusion $F\hookrightarrow F_p$ der Faser in die Homotopie-Faser eine Homotopieäquivalenz. Die Abbildung $i:F_p\to E$ mit $i(e,\gamma )=e,$ wobei $e\in E$ und $\gamma :I\to B$ ein Weg von $p(e)$ nach $b_0$ im Basisraum sind, ist eine Faserung. Sie ist die Pullback-Faserung der Wege-Faserung $PB\to B.$ Dieses Vorgehen kann nun wieder auf die Faserung $i$ angewandt und iteriert werden. Dies führt zu einer langen Sequenz:

$\cdots \to F_j\to F_i\stackrel{j}{\to }{F}_p\stackrel{i}{\to }E\stackrel{p}{\to }B.$

Die Faser von $i$ über einem Punkt $e_0\in p^{-1}(b_0)$ besteht aus genau den Paaren $(e_0,\gamma )$ mit geschlossenen Wegen $\gamma$ und Startpunkt $b_0$, also dem Schleifenraum $\mathrm{\Omega }B.$ Die Inklusion $\mathrm{\Omega }B\to F$ ist eine Homotopieäquivalenz und durch Iteration ergibt sich die Sequenz:

$\cdots {\mathrm{\Omega }}^{2}B\to \mathrm{\Omega }F\to \mathrm{\Omega }E\to \mathrm{\Omega }B\to F\to E\to B.$

Durch die Dualität von Faserung und Kofaserung existiert auch eine Sequenz von Kofaserungen. Diese beiden Sequenzen sind unter dem Namen Puppe-Sequenzen oder auch Sequenz von Faserungen bzw. Kofaserungen bekannt.${[1]S.407-409}^{}$

Hauptfaserung

Eine Faserung $p:E\to B$ mit Faser $F$ wird Hauptfaserung genannt, falls ein kommutatives Diagramm existiert:

Die untere Zeile ist eine Sequenz von Faserungen und die vertikalen Abbildungen sind schwache Homotopieäquivalenzen. Hauptfaserungen spielen eine wichtige Rolle bei Postnikow-Türmen.${[1]p.412}^{}$

Lange exakte Homotopiesequenz

Für eine Serre-Faserung $p:E\to B$ existiert eine lange exakte Sequenz von Homotopiegruppen. Für Basispunkte $b_0\in B$ und $x_0\in F=p^{-1}(b_0)$ ist diese gegeben durch:

$\cdots \to {\pi }_n(F,x_0)\to {\pi }_n(E,x_0)\to {\pi }_n(B,b_0)\to {\pi }_{n-1}(F,x_0)\to \cdots \to {\pi }_0(F,x_0)\to {\pi }_0(E,x_0).$

Die Homomorphismen ${\pi }_n(F,x_0)\to {\pi }_n(E,x_0)$ und ${\pi }_n(E,x_0)\to {\pi }_n(B,b_0)$ sind die induzierten Homomorphismen der Inklusion $i:F\hookrightarrow E$ und der Projektion $p:E\to B.$${[1]S.376}^{}$

Hopf-Faserungen

Unter den Hopf-Faserungen versteht man eine Familie von Faserbündeln, deren Faser, Totalraum und Basisraum Sphären sind:

$S^0\hookrightarrow S^1\to S^1,$

$S^1\hookrightarrow S^3\to S^2,$

$S^3\hookrightarrow S^7\to S^4,$

$S^7\hookrightarrow S^{15}\to S^8.$

Die lange exakte Homotopiesequenz der Hopf-Faserung $S^1\hookrightarrow S^3\to S^2$ liefert:

$\cdots \to {\pi }_n(S^1,x_0)\to {\pi }_n(S^3,x_0)\to {\pi }_n(S^2,b_0)\to {\pi }_{n-1}(S^1,x_0)\to \cdots \to {\pi }_1(S^1,x_0)\to {\pi }_1(S^3,x_0)\to {\pi }_1(S^2,b_0).$

Die Sequenz zerfällt in kurze exakte Sequenzen, da die Faser $S^1$ in $S^3$ zu einem Punkt zusammengezogen werden kann:

$0\to {\pi }_i(S^3)\to {\pi }_i(S^2)\to {\pi }_{i-1}(S^1)\to 0.$

Diese kurze exakte Sequenz zerfällt wegen des Einhängungshomomorphismus $\varphi :{\pi }_{i-1}(S^1)\to {\pi }_i(S^2)$und es gibt Isomorphismen:

${\pi }_i(S^2)\cong {\pi }_i(S^3)\oplus {\pi }_{i-1}(S^1).$

Die Homotopiegruppen ${\pi }_{i-1}(S^1)$ sind für $i\ge 3$ trivial, weshalb es Isomorphismen zwischen ${\pi }_i(S^2)$ und ${\pi }_i(S^3)$ ab $i=3$ gibt. Analog kann die Faser $S^3$ in $S^7$ und die Faser $S^7$ in $S^{15}$ zu einem Punkt zusammengezogen werden. Die kurzen exakten Sequenzen zerfallen weiter, wodurch es Familien von Isomorphismen gibt:

${\pi }_i(S^4)\cong {\pi }_i(S^7)\oplus {\pi }_{i-1}(S^3)$ und ${\pi }_i(S^8)\cong {\pi }_i(S^{15})\oplus {\pi }_{i-1}(S^7).$${[6]S.111}^{}$

Spektralsequenz

Spektralsequenzen sind wichtige Hilfsmittel in der algebraischen Topologie zur Berechnung von (Ko-)Homologiegruppen.

Die Leray-Serre-Spektralsequenz stellt einen Zusammenhang zwischen der (Ko-)Homologie von Totalraum und Faser mit der (Ko-)Homologie des Basisraums einer Faserung her. Für eine Faserung $p:E\to B$ mit Faser $F$, wobei der Basisraum ein wegzusammenhängender CW-Komplex ist, und einer additiven Homologietheorie $G_{*}$ existiert eine Spektralsequenz:

$H_k(B;G_q(F))\cong E_{k,q}^2⟹G_{k+q}(E).$${[7]S.242}^{}$

Faserungen liefern in der Homologie keine langen exakten Sequenzen, wie in der Homotopie. Aber unter bestimmten Bedingungen, liefern Faserungen exakte Sequenzen in der Homologie. Für eine Faserung $p:E\to B$ mit Faser $F$, wobei Basisraum und Faser wegzusammenhängend sind, die Fundamentalgruppe ${\pi }_1(B)$ auf $H_{*}(F)$ trivial operiert und zusätzlich die Bedingungen $H_p(B)=0$ für $0<p<m$ und $H_q(F)=0$ für $0<q<n$ gelten, existiert eine exakte Sequenz:

$H_{m+n-1}(F)\stackrel{i_{*}}{\to }{H}_{m+n-1}(E)\stackrel{f_{*}}{\to }{H}_{m+n-1}(B)\stackrel{\tau }{\to }{H}_{m+n-2}(F)\stackrel{i^{*}}{\to }\cdots \stackrel{f_{*}}{\to }{H}_1(B)\to 0.$${[7]S.250}^{}$

Diese Sequenz kann z. B. benutzt werden, um den Satz von Hurewicz zu beweisen oder um die Homologiegruppen von Schleifenräumen der Form $\mathrm{\Omega }{S}^n$ zu berechnen:

$H_k(\mathrm{\Omega }{S}^n)=\{\begin{array}{cc}\mathbb{Z}& \mathrm{\exists }q\in \mathbb{Z}:k=q(n-1)\\ 0& sonst\end{array}.$${[8]S.162}^{}$

Für den Spezialfall einer Faserung $p:E\to S^n,$ bei welcher der Basisraum eine $n$-Sphäre mit Faser $F$ ist, existieren exakte Sequenzen (auch Wang Sequenzen genannt) für Homologie und Kohomologie:

$\cdots \to H_q(F)\stackrel{i_{*}}{\to }{H}_q(E)\to H_{q-n}(F)\to H_{q-1}(F)\to \cdots$

$\cdots \to H^q(E)\stackrel{i^{*}}{\to }{H}^q(F)\to H^{q-n+1}(F)\to H^{q+1}(E)\to \cdots$${[4]S.456}^{}$

Orientierbarkeit

Für eine Faserung $p:E\to B$ mit Faser $F$ und einem festen kommutativen Ring $R$ mit Eins existiert ein kontravarianter Funktor von dem Fundamentalgruppoid von $B$ zur Kategorie von graduierten $R$-Moduln, welcher jedem $b\in B$ den Modul $H_{*}(F_b,R)$ und der Wegeklasse $[\omega ]$ den Homomorphismus $h[\omega {]}_{*}:H_{*}(F_{\omega (0)},R)\to H_{*}(F_{\omega (1)},R)$ zuordnet, wobei $h[\omega ]$ eine Homotopieklasse in $[F_{\omega (0)},F_{\omega (1)}]$ ist.

Eine Faserung wird orientierbar über $R$ genannt, falls für jeden geschlossenen Weg $\omega$ in $B$ gilt: $h[\omega {]}_{*}=1.$${[4]S.476}^{}$

Euler-Charakteristik

Für eine über einem Körper $𝕂$ orientierbare Faserung $p:E\to B$ mit Faser $F$ und wegzusammenhängendem Basisraum ist die Euler-Charakteristik des Totalraums definiert durch:

$\chi (E)=\chi (B)\chi (F).$

Die Euler-Charakteristiken des Basisraums und der Faser sind dabei über dem Körper $𝕂$ definiert.${[4]S.481}^{}$

Literatur

• [1] Vorlage:Literatur
• [2] Vorlage:Literatur
• [3] Vorlage:Literatur
• [4] Vorlage:Literatur
• [5] Vorlage:Literatur
• [6] Vorlage:Literatur
• [7] Vorlage:Literatur
• [8] Vorlage:Literatur