Schleifenraum

Der Schleifenraum ist eine Konstruktion aus dem mathematischen Teilgebiet der Topologie, insbesondere der Homotopietheorie.

Definition

Es sei $(X,x_0)$ ein punktierter topologischer Raum. Es sei $C([0,1],X)$ der Raum aller stetigen Funktionen $w:[0,1]\to X$, versehen mit kompakt-offenen-Topologie. Der Schleifenraum von $(X,x_0)$ ist der Unterraum

$\mathrm{\Omega }(X,x_0):=\{w\in C([0,1],X)\mid w(0)=w(1)=x_0\}$

mit der Teilraumtopologie.

Die „Punkte“ von $\mathrm{\Omega }(X,x_0)$ sind also geschlossene Wege $w$ mit Start- und Endpunkt $x_0$, sogenannte Schleifen an $x_0$. Daraus erklärt sich die Bezeichnung Schleifenraum.

Der Schleifenraum $\mathrm{\Omega }(X,x_0)$ ist in natürlicher Weise selbst wieder ein punktierter topologischer Raum, als Basispunkt nimmt man die konstante Schleife $k:[0,1]\to X,k(t)=x_0$ für alle $t\in [0,1]$.

Schleifenraum als Funktor

Sind $(X,x_0)$ und $(Y,y_0)$ punktierte topologische Räume und ist $f:(X,x_0)\to (Y,y_0)$ eine stetige Abbildung, so ist durch

$\mathrm{\Omega }f:\mathrm{\Omega }(X,x_0)\to \mathrm{\Omega }(Y,y_0),w\mapsto f\circ w$

eine stetige Abbildung zwischen den Schleifenräumen erklärt. Ist $(Z,z_0)$ ein dritter punktierter topologischer Raum und $g:(Y,y_0)\to (Z,z_0)$ stetig, so gilt offenbar

$\mathrm{\Omega }(g\circ f)=\mathrm{\Omega }g\circ \mathrm{\Omega }f$.

Auf diese Weise erhält man einen Funktor auf der Kategorie der punktierten topologischen Räume.

Homotopien und Fundamentalgruppe

Eine Homotopie zwischen zwei Schleifen $v,w\in \mathrm{\Omega }(X,x_0)$ ist eine stetige Abbildung

$H:[0,1]\times [0,1]\to X$, so dass

$H(s,0)=v(s)$   für alle $s\in [0,1]$

$H(s,1)=w(s)$   für alle $s\in [0,1]$

$H(0,t)=H(1,t)=x_0$   für alle $t\in [0,1]$

Das stellt man sich so vor, dass die Schleifen $v=H(\cdot ,0)$ und $w=H(\cdot ,1)$ durch die $H(\cdot ,t)$ stetig ineinander „deformiert“ werden. Die letzte der genannten Bedingungen stellt sicher, dass die $H(\cdot ,t)$ ebenfalls Schleifen an $x_0$ sind. Solche Homotopien, die den Basispunkt des punktierten topologischen Raums festhalten, nennt man genauer punktierte Homotopien.

Homotopie zwischen Schleifen ist eine Äquivalenzrelation, die Menge der Äquivalenzklassen von $\mathrm{\Omega }(X,x_0)$ wird oft mit ${\pi }_1(X,x_0)$ bezeichnet. Die Äquivalenzklasse einer Schleife $w$ wird mit $[w]$ bezeichnet und Homotopieklasse genannt.

Sind zwei Schleifen $v,w\in \mathrm{\Omega }(X,x_0)$ gegeben, so kann daraus eine neue Schleife $v*w$ gebildet, die zuerst $v$ durchläuft und danach $w$, genauer

$(v*w)(t)=\{\begin{array}{cc}v(2t)& \text{ für }t\in [0,\frac{1}{2}]\\ w(2t-1)& \text{ für }t\in [\frac{1}{2},1]\end{array}$.

Diese Verknüpfung ist mit der Homotopie von Schleifen verträglich, induziert also eine Verknüpfung auf der Menge ${\pi }_1(X,x_0)$ der Homotopieklassen: $[v]*[w]:=[v*w]$. Man kann zeigen, dass diese Verknüpfung ${\pi }_1(X,x_0)$ zu einer Gruppe macht, die man die Fundamentalgruppe von $(X,x_0)$ nennt, neutrales Element ist $[k]$, die Homotopieklasse der konstanten Schleife. Der Schleifenraum selbst ist mit der Verknüpfung * keine Gruppe, es ist also notwendig, zu den Homotopieklassen überzugehen.

Beziehung zur Einhängung

Die Einhängung $\mathrm{\Sigma }(X,x_0)$ des punktierten topologischen Raums $(X,x_0)$ ist als Quotientenraum

$\mathrm{\Sigma }(X,x_0)=(X\times [0,1])/(X\times \{0\}\cup X\times \{1\}\cup \{x_0\}\times [0,1])$

definiert, $q:X\times [0,1]\to \mathrm{\Sigma }(X,x_0)$ sei die Quotientenabbildung, wobei wie üblich das Bild von $X\times \{0\}\cup X\times \{1\}\cup \{x_0\}\times [0,1]$ als Basispunkt in $\mathrm{\Sigma }(X,x_0)$ genommen wird. Es sei $(Y,y_0)$ ein weiterer punktierter topologischer Raum. Zu einer stetigen Abbildung

$f:\mathrm{\Sigma }(X,x_0)\to (Y,y_0)$

erhält man eine stetige Abbildung

$f\circ q:X\times [0,1]\to Y$

und damit eine stetige Abbildung

$\tilde{f}:(X,x_0)\to \mathrm{\Omega }(Y,y_0),(\tilde{f}(x))(t):=(f\circ q)(x,t),x\in X,t\in [0,1]$.

Da $(x,0)$ und $(x,1)$ unter $q$ auf den Basispunkt von $\mathrm{\Sigma }(X,x_0)$ abgebildet werden und $f$ Basispunkte erhält, ist $(f\circ q)(x,0)=(f\circ q)(x,1)=y_0$, das heißt $\tilde{f}(x)$ ist tatsächlich ein Element des Schleifenraums $\mathrm{\Omega }(Y,y_0)$. Wir erhalten somit eine bijektive Abbildung

$C(\mathrm{\Sigma }(X,x_0),(Y,y_0))\to C((X,x_0),\mathrm{\Omega }(Y,y_0)),f\mapsto \tilde{f}$

in der Kategorie der punktierten topologischen Räume, diese Abbildung ist mit punktierten Homotopien verträglich, induziert daher eine Bijektion zwischen den Mengen der Homotopieklassen. In diesem Sinne sind die Funktoren $\mathrm{\Omega }$ und $\mathrm{\Sigma }$ adjungiert.