Wang-Sequenz

In der Mathematik ist die Wang-Sequenz eine exakte Sequenz von Homologiegruppen für Faserbündel über Sphären. Sie ist nach Hsien Chung Wang benannt.

Sei $F\to E\to S^n$ eine Serre-Faserung über einer Sphäre $S^n$ mit $n\ge 2$. Dann hat man eine exakte Sequenz

$\dots \to H_r(F)\to H_r(E)\to H_{r-n}(F)\to H_{r-1}(F)\to \dots$.

Insbesondere hat man für $r\le n-2$ einen Isomorphismus $H_r(F)\simeq H_r(E)$.

Der Beweis ist eine Anwendung der Leray-Serre-Spektralsequenz.

Für Faserbündel $F\to E\to S^1$ über dem Kreis $S^1$ erhält man durch Anwendung von Mayer-Vietoris-Sequenzen eine exakte Sequenz

$\dots \to H^k(E)\to H^k(F)\to H^k(F)\to H^{k+1}(E)\to \dots$,

wobei der Homomorphismus $H^k(F)\to H^k(F)$ die Abbildung $f^{*}-I$ ist für die Monodromie $f^{*}$ und die Identitätsabbildung $I$.

Literatur

• J. McCleary: User’s guide to spectral sequences. Mathematics Lecture Series, 12. Wilmington, Delaware: Publish or Perish (1985)