Kompakt-Offen-Topologie

Die Kompakt-Offene-Topologie, kurz KO-Topologie, ist eine im mathematischen Teilgebiet der Topologie betrachtete Struktur auf Funktionenräumen stetiger Funktionen. Sind nämlich $X$ und $Y$ topologische Räume, so sind die stetigen Abbildungen die strukturerhaltenden Abbildungen. Daher liegt es nahe, die Menge $C(X,Y)$ aller stetigen Funktionen $X\to Y$ wieder mit einer Topologie auszustatten. Unter den vielen Möglichkeiten, das zu tun, hat sich die Kompakt-Offen-Topologie als besonders geeignet herausgestellt.

Die Mathematiker R. H. Fox (1945) und Richard Friederich Arens (1946) definierten als erste diese Topologie und untersuchten sie systematisch.

Definition

Seien $X$ und $Y$ topologische Räume. Ist $K\subset X$ kompakt und $U\subset Y$ offen, so sei $\mathrm{\Omega }(K,U):=\{f\in C(X,Y):f(K)\subset U\}$.

Die Kompakt-Offen-Topologie auf $C(X,Y)$ ist die von allen Mengen der Form $\mathrm{\Omega }(K,U)$, $K\subset X$ kompakt, $U\subset Y$ offen, erzeugte Topologie, d. h., die offenen Mengen dieser Topologie sind beliebige Vereinigungen endlicher Durchschnitte solcher Mengen $\mathrm{\Omega }(K,U)$.

Die Mengen $\mathrm{\Omega }(K,U)$, $K\subset X$ kompakt, $U\subset Y$ offen, bilden damit eine Subbasis der Kompakt-Offen-Topologie. Diese Topologie wird oft mit $co$ abgekürzt (engl. compact-open), $C_{co}(X,Y)$ bezeichnet dann den Raum $C(X,Y)$, der mit der Kompakt-Offen-Topologie versehen ist.

Eigenschaften

Im Folgenden seien $X$ und $Y$ topologische Räume.

Trennungsaxiome

Ist Y T₀-Raum, T₁-Raum, Hausdorffraum, regulärer Raum oder ein vollständig regulärer Raum, so genügt $C_{co}(X,Y)$ demselben Trennungsaxiom.

Die Auswertungsabbildung

Für jede Teilmenge $H\subset C(X,Y)$ hat man die Auswertungsabbildung $j_H:H\times X\to Y,(f,x)\mapsto f(x)$. Ist $\tau$ irgendeine Topologie auf $H$, so dass $j_H$ stetig ist ($H\times X$ trägt dabei die Produkttopologie aus $\tau$ und der auf $X$ gegebenen Topologie), so ist $co{|}_H\subset \tau$, d. h., die relative Kompakt-Offen-Topologie auf $H$ ist gröber als $\tau$. In einem wichtigen Spezialfall ist die Auswertungsabbildung $j_H$ stetig, wenn man $H$ mit der relativen Kompakt-Offen-Topologie versieht; es gilt:

Ist $X$ lokalkompakt und $Y$ ein beliebiger topologischer Raum, so ist die Kompakt-Offen-Topologie auf jeder Teilmenge $H\subset C(X,Y)$ die gröbste Topologie, die die Auswertungsabbildung $j_H:H\times X\to Y,(f,x)\mapsto f(x)$ stetig macht.

Komposition

Seien $X$ und $Y$ lokalkompakt, $Z$ sei ein dritter topologischer Raum. Dann ist die Kompositionsabbildung

$C_{co}(X,Y)\times C_{co}(Y,Z)\to C_{co}(X,Z),(f,g)\mapsto g\circ f$

stetig.

Kompakte Konvergenz

Sei $X$ lokalkompakt, $Y$ uniformer Raum. Dann stimmt die Kompakt-Offen-Topologie auf $C(X,Y)$ mit der Topologie der kompakten Konvergenz überein.

Anwendung

Als typische Anwendung in der algebraischen Topologie wird hier die rekursive Definition der höheren Homotopiegruppen vorgestellt. Es sei $X$ ein topologischer Raum mit einem ausgezeichneten Punkt $p\in X$. Mit ${\pi }_1(X,p)$ werde die Fundamentalgruppe zum Basispunkt $p$ bezeichnet. Zur Definition der höheren Homotopiegruppen ${\pi }_n(X,p)$ betrachte man den Raum ${\mathrm{\Omega }}_{X,p}$ aller stetigen Abbildungen $g:([0,1],\partial [0,1])\to (X,p)$ des Einheitsintervalls $[0,1]$ nach $X$, die den Rand $\partial [0,1]$ des Einheitsintervalls auf den Basispunkt $p$ abbilden. Bezeichnet man die konstante Funktion aus ${\mathrm{\Omega }}_{X,p}$, die das Einheitsintervall auf den Punkt $p$ abbildet, mit $\tilde{p}$ und versieht man ${\mathrm{\Omega }}_{X,p}$ mit der relativen Kompakt-Offen-Topologie von $C([0,1],X)$, so ist das Paar $({\mathrm{\Omega }}_{X,p},\tilde{p})$ ein topologischer Raum mit einem ausgezeichneten Punkt.

Man definiert nun ${\pi }_2(X,p):={\pi }_1({\mathrm{\Omega }}_{X,p},\tilde{p})$ und allgemeiner rekursiv ${\pi }_n(X,p):={\pi }_{n-1}({\mathrm{\Omega }}_{X,p},\tilde{p})$ für $n>1$.

Literatur

• Vorlage:Literatur
• Horst Schubert: Topologie. Eine Einführung (= Teubners mathematische Leitfäden. Vorlage:ZDB). Teubner, Stuttgart 1964, (4. Auflage. Teubner, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6).