Spinorbündel

Ein Spinorbündel – auch Spinbündel genannt – ist ein mathematisches Objekt aus der Differentialgeometrie beziehungsweise der globalen Analysis. Es ist eine spezielle Art eines Vektorbündels über einer Mannigfaltigkeit. Spinorbündel können nur für Spin-Mannigfaltigkeiten definiert werden. Dies sind spezielle riemannsche Mannigfaltigkeiten mit einer Spinstruktur auf dem Tangentialbündel. Ob ein Tangentialbündel mit einer Spinstruktur ausgestattet werden kann, kann durch die zweite Stiefel-Whitney-Klasse gemessen werden.

Der Raum der glatten Schnitte eines Spinorbündels wird auch als Raum der Spinoren oder Spinorfelder bezeichnet und dient als eine natürliche Definitionsmenge für den Dirac-Operator.

Das mathematische Teilgebiet, das sich mit Spinorbündeln und Spin-Mannigfaltigkeiten sowie mit verwandten Themen, wie zum Beispiel Dirac-Operatoren und deren Indextheorie beschäftigt, wird als Spin-Geometrie bezeichnet.

Spinstruktur

Sei $(M,g)$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit und ${\pi }_E:E\to M$ ein orientiertes hermitesches Vektorbündel der Dimension $n$. Mit $\mathrm{Spin}(n)$ wird die Spin-Gruppe von $C{\ell }_n$ bezeichnet. Sie kann als eine zweiblättrige Überlagerung ${\tau }_0:\mathrm{Spin}(n)\to \mathrm{SO}(n)$ der orthogonalen Gruppe $\mathrm{SO}(n)$ aufgefasst werden. Eine Spinstruktur auf $E$ ist ein $\mathrm{Spin}(n)$-Hauptfaserbündel $P_{\mathrm{Spin}}(E)\to E$ zusammen mit einer zweiblättrigen Überlagerung

$\tau :P_{\mathrm{Spin}}(E)\to P_{\mathrm{SO}}(E)$

des $\mathrm{SO}(n)$-Hauptfaserbündels $P_{\mathrm{SO}}(E)$, so dass $\tau (pg)=\tau (p){\tau }_0(g)$ für alle $p\in P_{\mathrm{Spin}}(E)$ und alle $g\in \mathrm{Spin}(n)$ gilt.

Spin-Mannigfaltigkeit

Eine Spin-Mannigfaltigkeit ist eine orientierbare riemannsche Mannigfaltigkeit, die eine Spinstruktur auf ihrem Tangentialbündel erlaubt.

Da die Stiefel-Whitney-Klasse einer Mannigfaltigkeit definiert ist als die Stiefel-Whitney-Klasse ihres Tangentialbündels ist, bedeutet das, dass eine orientierbare riemannsche Mannigfaltigkeit genau dann eine Spinstruktur zulässt, wenn ${\omega }_{\text{2}}(X)=0$ gilt. Dann werden die verschiedenen Spinstrukturen von den Elementen von $H^1(X;{\mathbb{Z}}_{\text{2}})$ bestimmt.

Definition des Spinorbündels

Sei $(M,g)$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit mit gerader Dimension und einer Spinstruktur $\pi :P_{\mathrm{Spin}}(M)\to TM$ auf dem Tangentialbündel $TM$, also kurz eine Spin-Mannigfaltigkeit mit gerader Dimension. Sei $S$ die Darstellung der komplexen Clifford-Algebra $ℂl(n)$ (auch Spinor-Modul genannt). Die $\mathrm{Spin}(n)$-Gruppe hat als Teilmenge von $ℂl(n)$ ebenfalls eine Darstellung $\rho :\mathrm{Spin}(n)\to \mathrm{End}(S)$.

Das Spinorbündel $𝒮$ über der Mannigfaltigkeit $M$ ist definiert als das assoziierte komplexe Vektorbündel

$𝒮:=P_{\mathrm{Spin}}(M){\times }_{\mathrm{Spin}(n)}S.$

Hierbei bezeichnet ${\times }_{\mathrm{Spin}(n)}$ das Faserprodukt von $P_{\mathrm{Spin}}(M)$ mit $S$ über $\mathrm{Spin}(n)$. In diesem konkreten Fall bedeutet dies

$P_{\mathrm{Spin}}(M){\times }_{\mathrm{Spin}(n)}S=P_{\mathrm{Spin}}(M)\times S/\{(p\cdot g,f)\sim (p,\rho (g)f\}$

für $p\in P_{\mathrm{Spin}}(M)$, $g\in \mathrm{Spin}(n)$ und $f\in S$.

Verallgemeinerung

Vorlage:Siehe auch Statt der Spin-Gruppe $\mathrm{Spin}(n)$ können ebenso die Spinᶜ-Gruppe ${\mathrm{Spin}}^{\mathrm{c}}(n)$ und Spinʰ-Gruppe ${\mathrm{Spin}}^{\mathrm{h}}(n)$ betrachtet werden, welche aus dieser durch Vertwistung entstehen. Auch diese sind von großem Interesse. Etwa ergeben sich aus einer ${\mathrm{Spin}}^{\mathrm{c}}(4)$-Struktur zwei komplexe Ebenenbündel, welche gleiches Determinantenbündel und daher auch gleiche erste Chern-Klasse haben. Zusammen bilden diese ein Spinorbündel, dessen beide Teile jeweils negative und positive Chiralität von Spinoren beschreiben. Dadurch kann etwa die Dirac-Gleichung aus der relativistischen Quantenfeldtheorie betrachtet werden. Eine ganz andere Anwendung ergibt sich in der Seiberg-Witten-Theorie, bei welcher ${\mathrm{Spin}}^{\mathrm{c}}(4)$-Strukturen allgemeiner zur Untersuchung von 4-Mannigfaltigkeiten dienen können.

Wegen der kanonischen Inklusionen $\mathrm{Spin}(n)\hookrightarrow {\mathrm{Spin}}^{\mathrm{c}}(n)\hookrightarrow {\mathrm{Spin}}^{\mathrm{h}}(n)$ (welche mit den Projektionen auf $\mathrm{SO}(n)$ kompatibel sind) ist jede Spin- eine Spinᶜ-Struktur und jede Spinᶜ- eine Spinʰ-Struktur. Für beide Implikationen gelten die Umkehrungen nicht unbedingt. Im ersten Fall ist der zweite komplexe projektive Raum $ℂP^2$ und im zweiten Fall ist die Wu-Mannigfaltigkeit $\mathrm{SU}(3)/\mathrm{SO}(3)$ ein Gegenbeispiel. Da Orientierbarkeit äquivalent zu einer verschwindenden ersten Stiefel-Whitney-Klasse und die Existenz einer Spin-Struktur äquivalent zu einer zusätzlich (zur Orientierbarkeit) verschwindenden zweiten Stiefel-Whitney-Klasse sind, lässt sich auch bei Spinᶜ- und Spinʰ-Strukturen untersuchen, welche charakteristischen Klassen eine Obstruktion darstellen. Im Falle der Spinᶜ-Struktur ist dies eine zusätzlich (zur Orientierbarkeit) verschwindende dritte integrale Stiefel-Whitney-Klasse, welche sich durch Komposition mit dem Bockstein-Homomorphismus ergibt. Im Falle der Spinʰ-Struktur kann keine einzelne Kohomologieklasse über deren Existenz entscheiden, da die Homotopiefaser von ${\mathrm{Spin}}^{\mathrm{h}}(n)\twoheadrightarrow \mathrm{SO}(n)$ kein Eilenberg-MacLane-Raum ist. Ein Teil der Obstruktion ist jedoch eine verschwindende fünfte integrale Stiefel-Whitney-Klasse. Beide Beispiele zeigen, dass auch diese Strukturen weitreichende Verbindungen ausweisen.

Literatur

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