Spinc-Gruppe

Eine Spinᶜ-Gruppe (oder komplexe Spin-Gruppe) ist im mathematischen Teilgebiet der Spin-Geometrie, wiederum ein Teilgebiet der Differentialgeometrie, eine Lie-Gruppe, welche durch Vertwistung der Spin-Gruppe mit der ersten unitären Gruppe entsteht. Das Symbol C steht dabei für die komplexen Zahlen, welche mit $ℂ$ notiert werden. Eine zentrale Anwendung finden Spinᶜ-Gruppen in der Definition von Spinᶜ-Strukturen, welche zentral für die Seiberg-Witten-Theorie sind.

Definition

Die Spin-Gruppe $\mathrm{Spin}(n)$ ist eine doppelte Überlagerung der speziellen orthogonalen Gruppe $\mathrm{SO}(n)$ und entsprechend wirkt ${\mathbb{Z}}_2$ auf dieser mit $\mathrm{Spin}(n)/{\mathbb{Z}}_2\cong \mathrm{SO}(n)$. Auf der ersten unitären Gruppe $\mathrm{U}(1)\cong S^1\subset ℂ$ wirkt ${\mathbb{Z}}_2$ ebenfalls durch die antipodale Identifikation $y\sim -y$. Die Spinᶜ-Gruppe ist nun definiert durch:

${\mathrm{Spin}}^{\mathrm{c}}(n):=(\mathrm{Spin}(n)\times \mathrm{U}(1))/{\mathbb{Z}}_2$

mit $(x,y)\sim (-x,-y)$. Üblich ist auch die Notation ${\mathrm{Spin}}^{ℂ}(n)$. Mit dem exzeptionellen Isomorphismus $\mathrm{Spin}(2)\cong \mathrm{U}(1)$ gilt insbesondere ${\mathrm{Spin}}^{\mathrm{c}}(n)={\mathrm{Spin}}^2(n)$ mit:

${\mathrm{Spin}}^k(n):=(\mathrm{Spin}(n)\times \mathrm{Spin}(k))/{\mathbb{Z}}_2.$

Niedrigdimensionale Beispiele

• ${\mathrm{Spin}}^{\mathrm{c}}(1)\cong \mathrm{U}(1)\cong \mathrm{SO}(2)$, induziert vom Isomorphismus $\mathrm{Spin}(1)\cong \mathrm{O}(1)\cong {\mathbb{Z}}_2$.
• ${\mathrm{Spin}}^{\mathrm{c}}(3)\cong \mathrm{U}(2)$, induziert vom exzeptionellen Isomorphismus $\mathrm{Spin}(3)\cong \mathrm{Sp}(1)\cong \mathrm{SU}(2)$. Da außerdem $\mathrm{Spin}(2)\cong \mathrm{U}(1)\cong \mathrm{SO}(2)$, ist auch ${\mathrm{Spin}}^{\mathrm{c}}(3)\cong {\mathrm{Spin}}^{\mathrm{h}}(2)$.
• ${\mathrm{Spin}}^{\mathrm{c}}(4)\cong \mathrm{U}(2){\times }_{\mathrm{U}(1)}\mathrm{U}(2)$, induziert vom exzeptionellen Isomorphismus $\mathrm{Spin}(4)\cong \mathrm{SU}(2)\times \mathrm{SU}(2)$. Dabei ist die Determinante $\det :\mathrm{U}(2)\to \mathrm{U}(1)$ die doppelt im Faserprodukt verwendete Abbildung. Daher besteht ${\mathrm{Spin}}^{\mathrm{c}}(4)$ aus Paaren von Matrizen aus der zweiten unitären Gruppe $\mathrm{U}(2)$ mit gleicher Determinante. In der Physik dienen diese Paare zur Beschreibung der negativen und positiven Chiralität von Spinoren in vier Dimensionen, siehe Spinᶜ-Struktur und Dirac-Gleichung.
• ${\mathrm{Spin}}^{\mathrm{c}}(6)\to \mathrm{U}(4)$ ist eine doppelte Überlagerung, induziert vom exeptionellen Isomorphismus $\mathrm{Spin}(6)\cong \mathrm{SU}(4)$.

Eigenschaften

Die Homotopiegruppen der Spinᶜ-Gruppen lassen sich über die lange exakte Sequenz der Homotopiegruppen des Faserbündels ${\mathbb{Z}}_2\hookrightarrow \mathrm{Spin}(n)\times \mathrm{U}(1)\twoheadrightarrow {\mathrm{Spin}}^{\mathrm{c}}(n)$ berechnen und sind gegeben durch:

${\pi }_k{\mathrm{Spin}}^{\mathrm{c}}(n)\cong {\pi }_k\mathrm{Spin}(n)\times {\pi }_k\mathrm{U}(1)\cong {\pi }_k\mathrm{SO}(n)$

für $k\ge 2$. Dabei wurde genutzt, dass bei einer Überlagerung wie $\mathrm{Spin}(n)\twoheadrightarrow \mathrm{SO}(n)$ die höheren Homotopiegruppen über der Fundamentalgruppe übereinstimmen.

Siehe auch

• Spinʰ-Gruppe

Literatur

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