Dirac-Operator

Der Dirac-Operator ist ein Differentialoperator, der eine Quadratwurzel aus dem Laplace-Operator ist. Der ursprüngliche Fall, mit dem sich Paul Dirac beschäftigte, war die formale Faktorisierung eines Operators für den Minkowski-Raum, der die Quantentheorie mit der speziellen Relativitätstheorie verträglich macht.

Definition

Es sei $D\in {\mathrm{Diff}}^1(V,V)$ ein geometrischer Differentialoperator erster Ordnung, der auf ein Vektorbündel $V\to M$ über einer riemannschen Mannigfaltigkeit $M$ wirkt. Wenn dann

$D^2=\mathrm{\Delta },$

gilt, wobei $\mathrm{\Delta }$ ein verallgemeinerter Laplace-Operator auf $V$ ist, so heißt $D$ Dirac-Operator.

Geschichte

Ursprünglich hatte Paul Dirac die Wurzel aus dem D’Alembertoperator $◻$ betrachtet und damit die relativistische Quantenfeldtheorie eines Elektrons begründen wollen.

Dirac betrachtete für n=3 den Differentialoperator

$\sum _{i=0}^n{\gamma }_i\frac{\partial }{\partial x_i},$

wobei ${\gamma }_i$ die Dirac-Matrizen sind. Dieser ist jedoch nach heutigem Verständnis kein Dirac-Operator mehr.

In den 1960ern griffen Michael Francis Atiyah und Isadore M. Singer diesen von Dirac definierten Differentialoperator auf und entwickelten daraus den hier im Artikel hauptsächlich beschriebenen (verallgemeinerten) Dirac-Operator. Der Name Dirac-Operator wurde von Atiyah und Singer geprägt. Der Operator beeinflusste die Mathematik und die mathematische Physik des 20. Jahrhunderts stark.

Der Dirac-Operator eines Dirac-Bündels

Es sei $(M,g)$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit und $(ℰ,h,{\mathrm{\nabla }}^{ℰ})$ ein Dirac-Bündel, bestehend aus einem Clifford-Modul-Bündel $ℰ\to M$ einer hermiteschen Metrik $h$ auf $ℰ$ und einem Clifford-Zusammenhang ${\mathrm{\nabla }}^{ℰ}$ auf $ℰ$. Dann ist der Operator

$D:\mathrm{\Gamma }(M,ℰ)\stackrel{{\mathrm{\nabla }}^{ℰ}}{\to }\mathrm{\Gamma }(M,T^{*}M\otimes ℰ)\stackrel{c}{\to }\mathrm{\Gamma }(M,ℰ)$

der zum Dirac-Bündel $(E,h,{\mathrm{\nabla }}^{ℰ})$ assoziierte Dirac-Operator. In lokalen Koordinaten hat er die Darstellung

$D=\sum _{i=1}^{n}c(\mathrm{d}{x}^i)\underset{{\partial }_i}{\overset{ℰ}{\mathrm{\nabla }}}.$

Beispiele

Elementares Beispiel

Der Operator $-i{\partial }_x$ ist ein Dirac-Operator über dem Tangentialbündel von $ℝ$.

Spin-Dirac-Operator

Betrachtet werde der Konfigurationsraum eines Teilchens mit Spin ¹/₂, das auf die Ebene ${ℝ}^2$ beschränkt ist, welche die Basis-Mannigfaltigkeit bildet. Der Zustand wird durch eine Wellenfunktion ψ_G mit zwei komplexen Komponenten beschrieben, für die also jeweils ${ℝ}^2\to ℂ$ gelten soll, wobei Gesamtzustände, die sich nur um einen komplexen Faktor unterscheiden, identifiziert werden. Der Gesamtzustand ist also:

${\psi }_G=\left[\begin{array}{c}{\chi }_{\uparrow }(x,y)\\ {\eta }_{\downarrow }(x,y)\end{array}\right].$

Dabei sind $x$ und $y$ die üblichen kartesischen Koordinaten auf ${ℝ}^2$: ${\chi }_{\uparrow }$ definiert die Wahrscheinlichkeitsamplitude für die aufwärts gerichteten Spin-Komponente (Spin-Up), und analog ${\eta }_{\downarrow }$ für die Spin-Down-Komponente. Der sogenannte Spin-Dirac-Operator kann dann geschrieben werden als

$D=-i{\sigma }_x{\partial }_x-i{\sigma }_y{\partial }_y,$

wobei σ_x und σ_y die Pauli-Matrizen sind. Man beachte, dass die antikommutativen Beziehungen der Pauli-Matrizen einen Beweis der obigen Definition trivial machen. Diese Beziehungen definieren den Begriff der Clifford-Algebra#Beispiele am Beispiel der Quaternionen-Algebra. Lösungen der Dirac-Gleichung für Spinor-Felder werden oft harmonische Spinoren genannt.

Hodge-De-Rham-Operator

Sei $(M,g)$ eine orientierbare riemannsche Mannigfaltigkeit und sei $\mathrm{d}:𝒜(M{)}^{\bullet -1}\to {𝒜}^{\bullet }(M)$ die äußere Ableitung und ${\mathrm{d}}^t:{𝒜}^{\bullet }(M)\to {𝒜}^{\bullet -1}(M)$ der zur äußeren Ableitung bezüglich der L²-Metrik adjungierte Operator. Dann ist

$\mathrm{d}+{\mathrm{d}}^t:{𝒜}^{\bullet }(M)\to {𝒜}^{\bullet }(M)$

ein Dirac-Operator.

Atiyah-Singer-Dirac-Operator

Es gibt auch einen Dirac-Operator in der Clifford-Analysis. Im n-dimensionalen euklidischen Raum, d. h. für ${ℝ}^n\to {ℝ}^n,$ ist das
    $D=\sum _{j=1}^n{e}_j\frac{\partial }{\partial x_j}$
wobei
    $\{e_j:j=1,\dots ,n\}$
eine Orthonormal-Basis des euklidischen Raumes ist und ${ℝ}^n$ in eine Clifford-Algebra eingebettet ist. Dies ist ein Spezialfall des Atiyah-Singer-Dirac-Operators, der auf den Schnitten eines Spinor-Bündels wirkt.

Für eine Spin-Mannigfaltigkeit $M$, ist der Atiyah-Singer-Dirac-Operator lokal folgendermaßen definiert:
Für $x\in M$ und $e_1(x),\dots ,e_j(x)$ eine lokale Orthonormalbasis für den Tangentenraum von $M$ in $x$ ist der Atiyah-Singer-Dirac-Operator
    $\sum _{j=1}^n{e}_j(x){\tilde{\mathrm{\Gamma }}}_{e_j(x)}$,
wobei $\tilde{\mathrm{\Gamma }}$ ein Paralleltransport des Levi-Civita-Zusammenhangs auf $M$ für das Spinor-Bündel über $M$ ist.

Eigenschaften

Das Hauptsymbol eines verallgemeinerten Laplace-Operators ist $\xi \mapsto \Vert \xi {\Vert }^2$. Entsprechend ist das Hauptsymbol eines Dirac-Operators $\xi \mapsto \Vert \xi \Vert$ und somit sind beide Klassen von Differentialoperatoren elliptisch.

Verallgemeinerungen

Der Operator $D:C^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^k\otimes {ℝ}^n,S)\to C^{\mathrm{\infty }}({ℝ}^k\otimes {ℝ}^n,{ℂ}^k\otimes S)$, der auf die nachfolgend definierten spinorwertige Funktionen wirkt,

$f(x_1,\dots ,x_k)\mapsto \left(\begin{array}{c}{\partial }_{\underset{\_}{x_1}}f\\ {\partial }_{\underset{\_}{x_2}}f\\ \dots \\ {\partial }_{\underset{\_}{x_k}}f\end{array}\right)$

wird in der Clifford-Analysis oft als Dirac-Operator in k Clifford-Variablen genannt. In dieser Notation ist S der Raum von Spinoren, $x_i=(x_{i1},x_{i2},\dots ,x_{in})$ sind n-dimensionale Variablen und ${\partial }_{\underset{\_}{x_i}}=\sum _j{e}_j\cdot {\partial }_{x_{ij}}$ ist der Dirac-Operator in der $i$-ten Variablen. Dies ist eine gebräuchliche Verallgemeinerung des Dirac-Operators (k=1) und der Dolbeault-Kohomologie (n=2, k beliebig). Er ist ein Differentialoperator, der invariant zu der Operation der Gruppe $\mathrm{SL}(k)\times \mathrm{Spin}(n)$ ist. Die Injektive Auflösung von D ist nur für einige Spezialfälle bekannt.

Siehe auch

• Atiyah-Singer-Indexsatz

Literatur

• Thomas Friedrich: Dirac Operators in Riemannian Geometry (Dirac-Operatoren in der Riemannschen Geometrie, 1997). American Mathematical Society, Providence, R.I. 2000, ISBN 978-0-8218-2055-1.
• Fabrizio Colombo, Irene Sabadini: Analysis of Dirac Systems and Computational Algebra (Progress in mathematical physics; Bd. 39). Birkhäuser, Boston, Mass. 2004, ISBN 978-0-8176-4255-6.