Wu-Mannigfaltigkeit

Die Wu-Mannigfaltigkeit ist im mathematischen Teilgebiet der Lie-Theorie eine als Quotientenraum von Lie-Gruppen definierte 5-Mannigfaltigkeit. Eine besondere Rolle spielt die Mannigfaltigkeit durch ihre besonderen Eigenschaften in der Algebraischen Topologie, Kobordismustheorie und Spin-Geometrie. Benannt und erstmals untersucht wurde die Mannigfaltigkeit vom chinesischen Mathematiker Wu Wenjun.

Definition

Die speziellen orthogonalen Gruppe $\mathrm{SO}(n)$ lässt sich kanonisch in die spezielle unitäre Gruppe $\mathrm{SU}(n)$ einbetten. Der Orbitraum:

$W:=\mathrm{SU}(3)/\mathrm{SO}(3)$

ist die Wu-Mannigfaltigkeit.

Eigenschaften

• $W$ ist eine einfach zusammenhängende rationale Homologiesphäre (mit nichttrivialen Homologiegruppen $H_0(W)\cong \mathbb{Z}$, $H_2(W)\cong {\mathbb{Z}}_2$ und $H_5(W)\cong \mathbb{Z}$), welche keine Homologiesphäre ist.
• $W$ hat die Kohomologiegruppen:

  $H^0(W;{\mathbb{Z}}_2)={\mathbb{Z}}_2$

  $H^1(W;{\mathbb{Z}}_2)=1$

  $H^2(W;{\mathbb{Z}}_2)={\mathbb{Z}}_2$

  $H^3(W;{\mathbb{Z}}_2)={\mathbb{Z}}_2$

  $H^4(W;{\mathbb{Z}}_2)=1$

  $H^5(W;{\mathbb{Z}}_2)={\mathbb{Z}}_2$

• $W$ ist der Generator des orientierten Kobordismusringes ${\mathrm{\Omega }}_5^{\mathrm{SO}}\cong {\mathbb{Z}}_2$.
• $W$ ist eine Spinʰ-Mannigfaltigkeit, welche keine Spinᶜ-Struktur besitzt.

Weblinks

• Wu manifold auf nLab (englisch)