Spinh-Gruppe

Eine Spinʰ-Gruppe (oder quaternionische Spin-Gruppe) ist im mathematischen Teilgebiet der Spin-Geometrie, wiederum ein Teilgebiet der Differentialgeometrie, eine Lie-Gruppe, welche durch Vertwistung der Spin-Gruppe mit der ersten symplektischen Gruppe entsteht. H steht dabei für die Quaternionen, welche mit $ℍ$ notiert werden. Eine zentrale Anwendung finden Spinʰ-Gruppen in der Definition von Spinʰ-Strukturen.

Definition

Die Spin-Gruppe $\mathrm{Spin}(n)$ ist eine doppelte Überlagerung der speziellen orthogonalen Gruppe $\mathrm{SO}(n)$ und entsprechend wirkt ${\mathbb{Z}}_2$ auf dieser mit $\mathrm{Spin}(n)/{\mathbb{Z}}_2\cong \mathrm{SO}(n)$. Auf der ersten symplektischen Gruppe $\mathrm{Sp}(1)\cong S^3\subset ℍ$ wirkt ${\mathbb{Z}}_2$ ebenfalls durch die antipodale Identifikation $y\sim -y$. Die Spinʰ-Gruppe ist nun definiert durch:

${\mathrm{Spin}}^{\mathrm{h}}(n):=(\mathrm{Spin}(n)\times \mathrm{Sp}(1))/{\mathbb{Z}}_2$

mit $(x,y)\sim (-x,-y)$. Üblich ist auch die Notation ${\mathrm{Spin}}^{ℍ}(n)$. Mit dem exzeptionellen Isomorphismus $\mathrm{Spin}(3)\cong \mathrm{SU}(2)$ gilt insbesondere ${\mathrm{Spin}}^{\mathrm{h}}(n)={\mathrm{Spin}}^3(n)$ mit:

${\mathrm{Spin}}^k(n):=(\mathrm{Spin}(n)\times \mathrm{Spin}(k))/{\mathbb{Z}}_2.$

Niedrigdimensionale Beispiele

• ${\mathrm{Spin}}^{\mathrm{h}}(1)\cong \mathrm{Sp}(1)\cong \mathrm{SU}(2)$, induziert vom Isomorphismus $\mathrm{Spin}(1)\cong \mathrm{O}(1)\cong {\mathbb{Z}}_2$.
• ${\mathrm{Spin}}^{\mathrm{h}}(2)\cong \mathrm{U}(2)$, induziert vom exzeptionellen Isomorphismus $\mathrm{Spin}(2)\cong \mathrm{U}(1)\cong \mathrm{SO}(2)$. Da außerdem $\mathrm{Spin}(3)\cong \mathrm{Sp}(1)\cong \mathrm{SU}(2)$, ist auch ${\mathrm{Spin}}^{\mathrm{h}}(2)\cong {\mathrm{Spin}}^{\mathrm{c}}(3)$.

Eigenschaften

Die Homotopiegruppen der Spinʰ-Gruppen lassen sich über die lange exakte Sequenz der Homotopiegruppen des Faserbündels ${\mathbb{Z}}_2\hookrightarrow \mathrm{Spin}(n)\times \mathrm{Sp}(1)\twoheadrightarrow {\mathrm{Spin}}^{\mathrm{h}}(n)$ berechnen und sind gegeben durch:

${\pi }_k{\mathrm{Spin}}^{\mathrm{h}}(n)\cong {\pi }_k\mathrm{Spin}(n)\times {\pi }_k\mathrm{Sp}(1)\cong {\pi }_k\mathrm{SO}(n)\times {\pi }_k(S^3)$

für $k\ge 2$. Dabei wurde genutzt, dass bei einer Überlagerung wie $\mathrm{Spin}(n)\twoheadrightarrow \mathrm{SO}(n)$ die höheren Homotopiegruppen über der Fundamentalgruppe übereinstimmen.

Siehe auch

• Spinᶜ-Gruppe

Literatur

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