Spinc-Struktur

Eine Spinᶜ-Struktur (oder komplexe Spin-Stuktur) ist im mathematischen Teilgebiet der Spin-Geometrie, wiederum ein Teilgebiet der Differentialgeometrie, eine klassifizierende Abbildung, die für spezielle orientierbare Mannigfaltigkeiten existieren kann. Solche Mannigfaltigkeiten werden Spinᶜ-Mannigfaltigkeiten genannt. C steht dabei für die komplexen Zahlen, welche mit $ℂ$ notiert werden und in der Definition der zugrundeliegenden Spinᶜ-Gruppe auftauchen. In vier Dimensionen zerfällt eine Spinᶜ-Struktur in zwei komplexe Ebenenbündel, welche für die Beschreibung von negativer und positiver Chiralität von Spinoren dient, etwa bei der Dirac-Gleichung aus der relativistischen Quantenfeldtheorie. Eine zentrale Anwendung finden Spinᶜ-Strukturen ebenso in der Seiberg-Witten-Theorie, in welcher diese für das Studium von glatten Strukturen auf 4-Mannigfaltigkeiten verwendet werden.

Definition

Sei $M$ eine $n$-dimensionale orientierbare Mannigfaltigkeit. Ihr Tangentialbündel $TM$ wird über den Rückzug von Vektorbündeln durch eine klassifizierende Abbildung $M\to \mathrm{BSO}(n)$ in den klassifizierenden Raum $\mathrm{BSO}(n)$ der speziellen orthogonalen Gruppe $\mathrm{SO}(n)$ beschrieben. Diese kann über die von der kanonischen Projektion ${\mathrm{Spin}}^{\mathrm{c}}(n)\twoheadrightarrow \mathrm{SO}(n)$ induzierte Abbildung ${\mathrm{BSpin}}^{\mathrm{c}}(n)\twoheadrightarrow \mathrm{BSO}(n)$ faktorisieren. In diesem Fall hebt sich die klassifizierende Abbildung des Tangentialbündels zu einer Abbildung $M\to {\mathrm{BSpin}}^{\mathrm{c}}(n)$ in den klassifizierenden Raum ${\mathrm{BSpin}}^{\mathrm{c}}(n)$ der Spinᶜ-Gruppe ${\mathrm{Spin}}^{\mathrm{c}}(n)$, welche Spinᶜ-Struktur genannt wird.

Die möglichen Hebungen entsprechen durch Bijektion eineindeutig der Homotopieklasse $[M,\mathrm{BU}(1)]$ der stetigen Abbildungen in den klassifizierenden Raum $\mathrm{BU}(1)\cong \mathrm{BSO}(2)\cong ℂP^{\mathrm{\infty }}$ der ersten unitären Gruppe $\mathrm{U}(1)\cong \mathrm{SO}(2)$, welche als andere Komponente der Spinᶜ-Gruppe die Transformation der Fasern kontrolliert. Da $\mathrm{BU}(1)\simeq K(\mathbb{Z},2)$ ebenfalls ein Eilenberg-MacLane-Raum ist, welcher Homologie klassifiziert, werden Spinᶜ-Strukturen alternativ durch die zweite integrale Homologie klassifiziert:

$[M,\mathrm{BU}(1)]\cong [M,K(\mathbb{Z},2)]\cong H^2(M,\mathbb{Z}).$

Allgemeiner wirkt $H^2(M,\mathbb{Z})$ frei und transitiv auf den Spinᶜ-Strukturen.

Wegen der kanonischen Projektion ${\mathrm{BSpin}}^{\mathrm{c}}(n)\to \mathrm{U}(1)/{\mathbb{Z}}_2\cong \mathrm{U}(1)$ induziert jede Spinᶜ-Struktur ein kanonisches $\mathrm{U}(1)$-Hauptfaserbündel oder äquivalent ein komplexes Linienbündel.

Eigenschaften

• Jede Spin-Struktur erzeugt eine kanonische Spinᶜ-Struktur. Die Umkehrung gilt nicht, wie die komplexe projektive Ebene $ℂP^2$ zeigt.
• Jede Spinᶜ-Struktur erzeugt eine kanonische Spinʰ-Struktur. Die Umkehrung gilt nicht, wie die Wu-Mannigfaltigkeit $\mathrm{SU}(3)/\mathrm{SO}(3)$ zeigt.
• Eine Mannigfaltigkeit $M$ besitzt genau dann eine Spinᶜ-Struktur, wenn ihre dritte integrale Stiefel-Whitney-Klasse $W_3(M)$ verschwindet, also die zweite Stiefel-Whitney-Klasse $w_2(M)$ im Bild der kanonischen Projektion $H^2(M,\mathbb{Z})\to H^2(M,{\mathbb{Z}}_2)$ liegt.
• Jede orientierbare glatte Mannigfaltigkeit mit vier oder weniger Dimensionen hat eine Spinᶜ-Struktur.
• Jede fastkomplexe Mannigfaltigkeit hat eine Spinᶜ-Struktur.

Folgende Eigenschaften gelten allgemeiner für die Hebung auf die Lie-Gruppe ${\mathrm{Spin}}^k(n):=(\mathrm{Spin}(n)\times \mathrm{Spin}(k))/{\mathbb{Z}}_2$, wobei speziell für $k=2$ gilt:

• Ist $M\times N$ eine Spinᶜ-Mannigfaltigkeit, dann sind $M$ und $N$ jeweils Spinᶜ-Mannigfaltigkeiten.
• Ist $M$ eine Spin-Mannigfaltigkeit, dann ist $M\times N$ genau dann eine Spinᶜ-Mannigfaltigkeit, wenn $N$ eine Spinᶜ-Mannigfaltigkeit ist.
• Für Spinᶜ-Mannigfaltigkeiten $M$ und $N$ gleicher Dimension ist ihre verbundene Summe $M\mathrm{\#}N$ ebenfalls eine Spinᶜ-Mannigfaltigkeit.
• Es sind äquivalent:
  • $M$ ist eine Spinᶜ-Mannigfaltigkeit.
  • Es gibt ein Ebenenbündel $E\twoheadrightarrow M$, sodass $TM\oplus E$ eine Spin-Struktur hat, also $w_2(TM)=w_2(E)$.
  • $M$ lässt sich in eine Spin-Mannigfaltigkeit mit zwei Dimensionen mehr immersieren.
  • $M$ lässt sich in eine Spin-Mannigfaltigkeit mit zwei Dimensionen mehr einbetten.

Literatur

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Siehe auch

• Spinʰ-Struktur

Weblinks

• spinᶜ structure auf nLab (englisch)