Klassifizierender Raum von SO(n)

Der klassifizierende Raum $\mathrm{BSO}(n)$ der speziellen orthogonalen Lie-Gruppe $\mathrm{SO}(n)$ ist der Basisraum des universellen $\mathrm{SO}(n)$-Hauptfaserbündels $\mathrm{ESO}(n)\to \mathrm{BSO}(n)$. Das bedeutet, dass $\mathrm{SO}(n)$-Hauptfaserbündel über einem CW-Komplex in Bijektion mit den Homotopieklassen von dessen stetigen Abbildungen in $\mathrm{BSO}(n)$ stehen. Die Bijektion ist durch das zurückgezogene Hauptfaserbündel gegeben.

Definition

Es gibt eine kanonische Inklusion von reellen orientierten Grassmann-Mannigfaltigkeiten gegeben durch ${\widetilde{\mathrm{Gr}}}_n({ℝ}^k)\hookrightarrow {\widetilde{\mathrm{Gr}}}_n({ℝ}^{k+1}),V\mapsto V\times \{0\}$. Deren direkter Limes ist:

$\mathrm{BSO}(n):={\widetilde{\mathrm{Gr}}}_n({ℝ}^{\mathrm{\infty }}):=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\widetilde{\mathrm{Gr}}}_n({ℝ}^k).$

Da reelle orientierte Graßmann-Mannigfaltigkeiten sich als homogene Räume ausdrücken lassen durch:

${\widetilde{\mathrm{Gr}}}_n({ℝ}^k)=\mathrm{SO}(n+k)/(\mathrm{SO}(n)\times \mathrm{SO}(k))$

überträgt sich die $\mathrm{SO}(n+k)$-Wirkung auf $\mathrm{BSO}(n)$.

Kleinster klassifizierender Raum

• Es ist $\mathrm{SO}(1)\cong 1$ die triviale Gruppe und daher $\mathrm{BSO}(1)\cong \{*\}$ der triviale topologische Raum.

• Es ist $\mathrm{SO}(2)\cong \mathrm{U}(1)$ und daher $\mathrm{BSO}(2)\cong \mathrm{BU}(1)\cong ℂP^{\mathrm{\infty }}$ der unendliche komplexe projektive Raum.

Klassifikation von Hauptfaserbündeln

Für einen topologischen Raum $X$ sei ${\mathrm{Prin}}_{\mathrm{SO}(n)}(X)$ die Menge der $\mathrm{SO}(n)$-Hauptfaserbündel auf diesem bis auf Isomorphie. Ist $X$ ein CW-Komplex, dann ist die Abbildung:

$[X,\mathrm{BSO}(n)]\to {\mathrm{Prin}}_{\mathrm{SO}(n)}(X),[f]\mapsto f^{*}\mathrm{ESO}(n)$

bijektiv.

Kohomologiering

Der Kohomologiering von $\mathrm{BSO}(n)$ mit Koeffizienten in ${\mathbb{Z}}_2$ wird von den Stiefel–Whitney-Klassen erzeugt:

$H^{*}(\mathrm{BSO}(n);{\mathbb{Z}}_2)={\mathbb{Z}}_2[w_2,\dots ,w_n].$

Dieses Resultat gilt allgemeiner für alle Körper mit Charakteristik $\mathrm{char}=2$.

Der Kohomologiering von $\mathrm{BSO}(n)$ mit Koeffizienten im Körper $\mathbb{Q}$ der rationalen Zahlen wird von den Pontrjagin-Klassen und der Euler-Klasse erzeugt:

$H^{*}(\mathrm{BSO}(2n);\mathbb{Q})\cong \mathbb{Q}[p_1,\dots ,p_n,e]/(p_n-e^2),$

$H^{*}(\mathrm{BSO}(2n+1);\mathbb{Q})\cong \mathbb{Q}[p_1,\dots ,p_n].$

Diese Resultate gelten allgemeiner für alle Körper mit Charakteristik $\mathrm{char}\ne 2$.

Unendlicher klassifizierender Raum

Die kanonische Inklusionen $\mathrm{SO}(n)\hookrightarrow \mathrm{SO}(n+1)$ induzieren kanonische Inklusionen $\mathrm{BSO}(n)\hookrightarrow \mathrm{BSO}(n+1)$auf ihren jeweiligen klassifizierenden Räumen. Die direkten Limiten dieser beiden Ketten an Inklusionen werden jeweils als:

$\mathrm{SO}:=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{SO}(n)$

$\mathrm{BSO}:=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{BSO}(n)$

bezeichnet. $\mathrm{BSO}$ ist dabei tatsächlich der klassifizierende Raum von $\mathrm{SO}$.

Siehe auch

• Klassifizierender Raum von O(n)
• Klassifizierender Raum von U(n)
• Klassifizierender Raum von SU(n)

Literatur

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Weblinks

• classifying space auf nLab (englisch)
• BSO(n) auf nLab (englisch)