Spinh-Struktur

Eine Spinʰ-Struktur (oder quaternionische Spin-Struktur) ist im mathematischen Teilgebiet der Spin-Geometrie, wiederum ein Teilgebiet der Differentialgeometrie, eine klassifizierende Abbildung, die für spezielle orientierbare Mannigfaltigkeiten existieren kann. Solche Mannigfaltigkeiten werden Spinʰ-Mannigfaltigkeiten genannt. H steht dabei für die Quaternionen, welche mit $ℍ$ notiert werden und in der Definition der zugrundeliegenden Spinʰ-Gruppe auftauchen.

Definition

Sei $M$ eine $n$-dimensionale orientierbare Mannigfaltigkeit. Ihr Tangentialbündel $TM$ wird über den Rückzug von Vektorbündeln durch eine klassifizierende Abbildung $M\to \mathrm{BSO}(n)$ in den klassifizierenden Raum $\mathrm{BSO}(n)$ der speziellen orthogonalen Gruppe $\mathrm{SO}(n)$ beschrieben. Diese kann über die von der kanonischen Projektion ${\mathrm{Spin}}^{\mathrm{h}}(n)\twoheadrightarrow \mathrm{SO}(n)$ induzierte Abbildung ${\mathrm{BSpin}}^{\mathrm{h}}(n)\twoheadrightarrow \mathrm{BSO}(n)$ faktorisieren. In diesem Fall hebt sich die klassifizierende Abbildung des Tangentialbündels zu einer Abbildung $M\to {\mathrm{BSpin}}^{\mathrm{h}}(n)$ in den klassifizierenden Raum ${\mathrm{BSpin}}^{\mathrm{h}}(n)$ der Spinʰ-Gruppe ${\mathrm{Spin}}^{\mathrm{h}}(n)$, welche Spinʰ-Struktur genannt wird.

Die möglichen Hebungen entsprechen durch Bijektion eineindeutig den Homotopieklassen $[M,\mathrm{BSp}(1)]$ der stetigen Abbildungen in den klassifizierenden Raum $\mathrm{BSp}(1)\cong \mathrm{BSU}(2)\cong ℍP^{\mathrm{\infty }}$ der ersten symplektischen Gruppe $\mathrm{Sp}(1)\cong \mathrm{SU}(2)$, welche als andere Komponente der Spinʰ-Gruppe die Transformation der Fasern kontrolliert.

Wegen der kanonischen Projektion ${\mathrm{BSpin}}^{\mathrm{h}}(n)\to \mathrm{SU}(2)/{\mathbb{Z}}_2\cong \mathrm{SO}(3)$ induziert jede Spinʰ-Struktur ein kanonisches $\mathrm{SO}(3)$-Hauptfaserbündel oder äquivalent ein orientierbares reelles Vektorbündel vom Rang $3$.

Eigenschaften

• Jede Spin-Struktur und sogar jede Spinᶜ-Struktur ist eine Spinʰ-Struktur. Die Umkehrungen gelten nicht, wie die komplexe projektive Ebene $ℂP^2$ und die Wu-Mannigfaltigkeit $\mathrm{SU}(3)/\mathrm{SO}(3)$ zeigen.
• Für eine Mannigfaltigkeit $M$ mit einer Spinʰ-Struktur verschwindet ihre fünfte integrale Stiefel-Whitney-Klasse $W_5(M)$, weshalb die vierte Stiefel-Whitney-Klasse $w_4(M)$ im Bild der kanonischen Projektion $H^2(M,\mathbb{Z})\to H^2(M,{\mathbb{Z}}_2)$ liegt. Im Gegensatz zum analogen Resultat für Spinᶜ-Strukturen gilt hier keine Umkehrung.
• Jede orientierbare glatte Mannigfaltigkeit mit sieben oder weniger Dimensionen hat eine Spinʰ-Struktur.
• In acht oder mehr Dimensionen gibt es unendlich viele Homotopietypen von geschlossenen einfach zusammenhängenden glatten Mannigfaltigkeiten ohne Spinʰ-Struktur.
• Für eine geradedimensionale kompakte Spinʰ-Mannigaltigkeit $M$, für welche ihre vierte Betti-Zahl $b_4(M)=\dim H^4(M,ℝ)$ verschwindet oder die Pontrjagin-Klasse $p_1(E)\in H^4(M,\mathbb{Z})$ ihres kanonischen $\mathrm{SO}(3)$-Hauptfaserbündels eine Torsionsklasse ist, ist ihr doppeltes Â-Geschlecht $2\hat{A}(M)$ eine ganze Zahl.

Folgende Eigenschaften gelten allgemeiner für die Hebung auf die Lie-Gruppe ${\mathrm{Spin}}^k(n):=(\mathrm{Spin}(n)\times \mathrm{Spin}(k))/{\mathbb{Z}}_2$, wobei speziell für $k=3$ gilt:

• Ist $M\times N$ eine Spinʰ-Mannigfaltigkeit, dann sind $M$ und $N$ jeweils Spinʰ-Mannigfaltigkeiten.
• Ist $M$ eine Spin-Mannigfaltigkeit, dann ist $M\times N$ genau dann eine Spinʰ-Mannigfaltigkeit, wenn $N$ eine Spinʰ-Mannigfaltigkeit ist.
• Für Spinʰ-Mannigfaltigkeiten $M$ und $N$ gleicher Dimension ist ihre verbundene Summe $M\mathrm{\#}N$ ebenfalls eine Spinʰ-Mannigfaltigkeit.
• Es sind äquivalent:
  • $M$ ist eine Spinʰ-Mannigfaltigkeit.
  • Es gibt ein Vektorbündel $E\twoheadrightarrow M$ dritten Ranges, sodass $TM\oplus E$ eine Spin-Struktur hat, also $w_2(TM)=w_2(E)$.
  • $M$ lässt sich in eine Spin-Mannigfaltigkeit mit drei Dimensionen mehr immersieren.
  • $M$ lässt sich in eine Spin-Mannigfaltigkeit mit drei Dimensionen mehr einbetten.

Siehe auch

• Spinᶜ-Struktur

Literatur

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Weblinks

• spinʰ structure auf nLab (englisch)