Klassifizierender Raum von SU(n)

Der klassifizierende Raum $\mathrm{BSU}(n)$ der speziellen unitären Lie-Gruppe $\mathrm{SU}(n)$ ist der Basisraum des universellen $\mathrm{SU}(n)$-Hauptfaserbündels $\mathrm{ESU}(n)\to \mathrm{BSU}(n)$. Das bedeutet, dass $\mathrm{SU}(n)$-Hauptfaserbündel über einem CW-Komplex in Bijektion mit den Homotopieklassen von dessen stetigen Abbildungen in $\mathrm{BSU}(n)$ stehen. Die Bijektion ist das zurückgezogene Hauptfaserbündel.

Definition

Es gibt eine kanonische Inklusion von komplexen orientierten Grassmann-Mannigfaltigkeiten gegeben durch ${\widetilde{\mathrm{Gr}}}_n({ℂ}^k)\hookrightarrow {\widetilde{\mathrm{Gr}}}_n({ℂ}^{k+1}),V\mapsto V\times \{0\}$. Deren direkter Limes ist:

$\mathrm{BSU}(n):={\widetilde{\mathrm{Gr}}}_n({ℂ}^{\mathrm{\infty }}):=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\widetilde{\mathrm{Gr}}}_n({ℂ}^k).$

Da reelle orientierte Graßmann-Mannigfaltigkeiten sich als homogene Räume ausdrücken lassen durch:

${\widetilde{\mathrm{Gr}}}_n({ℂ}^k)=\mathrm{SU}(n+k)/(\mathrm{SU}(n)\times \mathrm{SU}(k))$

überträgt sich die $\mathrm{SU}(n+k)$-Wirkung auf $\mathrm{BSU}(n)$.

Kleinster klassifizierender Raum

• Es ist $\mathrm{SU}(1)\cong 1$ die triviale Gruppe und daher $\mathrm{BSU}(1)\cong \{*\}$ der triviale topologische Raum.

• Es ist $\mathrm{SU}(2)\cong \mathrm{Sp}(1)$ und daher $\mathrm{BSU}(2)\cong \mathrm{BSp}(1)\cong ℍP^{\mathrm{\infty }}$ der unendliche quaternionische projektive Raum.

Klassifikation von Hauptfaserbündeln

Für einen topologischen Raum $X$ sei ${\mathrm{Prin}}_{\mathrm{SU}(n)}(X)$ die Menge der $\mathrm{SU}(n)$-Hauptfaserbündel auf diesem bis auf Isomorphie. Ist $X$ ein CW-Komplex, dann ist die Abbildung:

$[X,\mathrm{BSU}(n)]\to {\mathrm{Prin}}_{\mathrm{SU}(n)}(X),[f]\mapsto f^{*}\mathrm{ESU}(n)$

bijektiv.

Kohomologiering

Der Kohomologiering von $\mathrm{BSU}(n)$ mit Koeffizienten im Ring $\mathbb{Z}$ der ganzen Zahlen wird von den Chern-Klassen erzeugt:

$H^{*}(\mathrm{BSU}(n);\mathbb{Z})=\mathbb{Z}[c_2,\dots ,c_n].$

Unendlicher klassifizierender Raum

Die kanonische Inklusionen $\mathrm{SU}(n)\hookrightarrow \mathrm{SU}(n+1)$ induzieren kanonische Inklusionen $\mathrm{BSU}(n)\hookrightarrow \mathrm{BSU}(n+1)$auf ihren jeweiligen klassifizierenden Räumen. Die direkten Limiten dieser beiden Ketten an Inklusionen werden jeweils als:

$\mathrm{SU}:=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{SU}(n)$

$\mathrm{BSU}:=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{BSU}(n)$

bezeichnet. $\mathrm{BSU}$ ist dabei tatsächlich der klassifizierende Raum von $\mathrm{SU}$.

Siehe auch

• Klassifizierender Raum von O(n)
• Klassifizierender Raum von SO(n)
• Klassifizierender Raum von U(n)

Literatur

• Vorlage:Literatur
• Vorlage:Literatur

Weblinks

• classifying space auf nLab (englisch)
• BSU(n) auf nLab (englisch)