Seiberg-Witten-Gleichung

Die Seiberg-Witten-Gleichungen sind partielle Differentialgleichungen aus der Seiberg-Witten-Theorie in der theoretischen Physik. Ihre Lösungen heißen Monopole. In der Mathematik wird der Modulraum ihrer Lösungen zur Konstruktion der Seiberg-Witten-Invarianten verwendet. Beachtlicherweise führen diese zu stärkeren Resultaten als die Donaldson-Invarianten aus der Donaldson-Theorie, welche auf dem Modulraum der Lösungen der Yang-Mills-Gleichungen beruhen, obwohl die Seiberg-Witten-Gleichungen eine wesentlich einfachere Struktur haben. Eine wichtige Anwendung ist die Untersuchung exotischer glatter Strukturen, welche durch die partiellen Differentialgleichungen erfasst werden. Trotz der stärkeren Resultate der Seiberg-Witten-Invarianten gibt es diesbezüglich jedoch weiterhin ungelöste Probleme, wie etwa ob exotische Sphären in vier Dimensionen existieren.

Grundlagen

Sei $M$ eine kompakte, orientierbare Riemannsche 4-Mannigfaltigkeit. Jede solche Mannigfaltigkeit besitzt eine Spin^c-Struktur. Diese lässt sich beschreiben als Hochhebung der klassifizierenden Abbildung $f:M\to \mathrm{BSO}(4)$ ihres Tangentialbündels $TM=f^{*}{\gamma }_{ℝ}^4$ zu einer Abbildung $\hat{f}:M\to {\mathrm{BSpin}}^{\mathrm{c}}(4)$, also sodass $f=ℬ\varphi \circ \hat{f}$ mit der kanonischen Projektion $\varphi :{\mathrm{Spin}}^{\mathrm{c}}(4)\to \mathrm{SO}(4)$. Speziell in vier Dimensionen gibt es einen exeptionellen Isomorphismus:

${\mathrm{Spin}}^{\mathrm{c}}(4)\cong \mathrm{U}(2){\times }_{\mathrm{U}(1)}\mathrm{U}(2)\cong \{A^{\pm }\in \mathrm{U}(2)|\det (A^{-})=\det (A^{+})\}.$

Dadurch zerfällt die Spin^c-Struktur $\hat{f}:M\to {\mathrm{BSpin}}^{\mathrm{c}}(4)$ in zwei klassifizierende Abbildungen ${\hat{f}}^{\pm }:M\to \mathrm{BU}(2)$ mit $ℬ\det \circ f^{-}=ℬ\det \circ f^{+}$. Diese erzeugen jeweils komplexe Ebenenbündel $W^{\pm }:=({\hat{f}}^{\pm }{)}^{*}{\gamma }_{ℂ}^2$ mit gleichem Determinantenbündel $L:=\det (W^{-})=\det (W^{+})$ und über die Whitney-Summe einem zugehörigen Spinorbündel $W=W^{-}\oplus W^{+}$. Da das Determinantenbündel die erste Chern-Klasse erhält, gilt $c_1(L)=c_1(W^{-})=c_1(W^{+})$. Jedoch verfügen $W^{-}$ und $W^{+}$ noch über die zweite Chern-Klasse, welche weitere Informationen enthält. Zudem entspricht dem komplexen Linienbündel $L$ über das Rahmenbündel ein $\mathrm{U}(1)$-Hauptfaserbündel ${\mathrm{Fr}}_{\mathrm{U}}(L)$. Für dieses gilt:

$L\cong {\mathrm{Fr}}_{\mathrm{U}}(L){\times }_{\mathrm{U}(1)}ℂ$

$\underset{\_}{\mathrm{End}}(L)\cong \mathrm{Ad}{\mathrm{Fr}}_{\mathrm{U}}(L)$

unter Verwendung des balancierten Produktes sowie des adjungierten Vektorbündels. Glatte Schnitte von $W^{-}$, deren Vektorraum mit ${\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(W^{-})$ oder kurz $\mathrm{\Gamma }(W^{-})$ notiert wird, werden antiselbstdual und glatte Schnitte von $W^{+}$, deren Vektorraum mit ${\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(W^{+})$ oder kurz $\mathrm{\Gamma }(W^{+})$ notiert wird, werden selbstduale Spinorfelder genannt.

Ungestörte Gleichungen

Die Seiberg-Witten-Gleichungen sind Gleichungen für ein „selbstduales Spinorfeld“ $\varphi$ (d. h. einen Schnitt von $W^{+}$) und einen $U(1)$-Zusammenhang $A$ auf dem Determinantenbündel $L$. Sie lauten:

$D^A\varphi =0,$

$F_A^{+}+\tau (\varphi )=0.$

Dabei bezeichnet $D^A$ den Dirac-Operator des Zusammenhangs, $F_A$ die Krümmungsform des Zusammenhangs, $F_A^{+}:=\frac{1}{2}(F_A+F_A^{*})$ ihren selbstdualen Anteil, und $\tau (\varphi )$ den spurfreien Anteil des Endomorphismus $\theta \to ⟨\theta ,\varphi ⟩\varphi$ von $W^{+}$.

Gestörte Gleichungen

Für eine bzgl. der Riemannschen Metrik selbst-duale 2-Form $\eta \in {\mathrm{\Omega }}^{2,+}(M,iℝ)$ betrachtet man die gestörten Seiberg-Witten-Gleichungen

$D^A\varphi =0,$

$F_A^{+}+\tau (\varphi )+\eta =0.$

Literatur

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