Hochhebungseigenschaft

Die Hochhebungseigenschaft (Vorlage:EnS) ist ein Begriff aus der Kategorientheorie. Er bezeichnet eine Eigenschaft zweier Morphismen. Sie spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der Modellkategorien. Ein wichtiger Spezialfall der Hochhebungsseigenschaft ist die Homotopie-Hochhebungseigenschaft aus der Topologie.

Definition

Zwei Morphismen $m:A\to X$ und $p:B\to Y$ in einer Kategorie $𝐊$ haben die Hochhebungseigenschaft, notiert $m\downarrow p$, falls für jeden Morphismus $f:A\to B$ und $g:X\to Y$ in $𝐊$ mit $p\circ f=g\circ m$ ein Morphismus $h:X\to B$ existiert, genannt Hochhebung (en. Vorlage:Lang), so dass $h\circ m=f$ und $p\circ h=g$.

Das heißt, für das mittels der durchgezogenen Linien dargestellte kommutative Diagramm existiert ein Morphismus $h:X\to B$, so dass folgendes Diagramm kommutiert:

Man sagt, $m$ hat die linke Hochhebungseigenschaft und $p$ die rechte Hochhebungseigenschaft.

Erläuterungen

Wenn $h$ eindeutig ist, nennt man $m$ orthogonal zu $p$ und schreibt $m\perp p$.

Seien $S,T\subseteq 𝐊$, dann hat $S$ die linke Hochhebungseigenschaft und $T$ die rechte Hochhebungseigenschaft, geschrieben $S\downarrow T$, wenn für alle $f\in \mathrm{hom}(S)$,$g\in \mathrm{hom}(T)$ gilt $f\downarrow g$.

Für ein $S\subseteq 𝐊$ lassen sich somit die Mengen der zu $S$ links bzw. rechts orthogonalen definieren:

$\begin{array}{cc}{S}^{\perp \ell }& :=\{i\mid \mathrm{\forall }p\in S,i\perp p\}\\ S^{\perp r}& :=\{p\mid \mathrm{\forall }i\in S,i\perp p\}\end{array}$

Beispiele

• In der Kategorie der Mengen $𝐒𝐞𝐭$ ist eine Funktion $p:B\to Y$ genau dann injektiv, wenn sie die rechte Hochhebungseigenschaft bezüglich ${!}_2:2\to 1$ hat, und genau dann surjektiv, wenn sie die rechte Hochhebungseigenschaft bezüglich ${!}_{\mathrm{\varnothing }}:\mathrm{\varnothing }\to 1$ hat.
• Sei $Y$ ein topologischer Raum und $B$ eine Überlagerung von $Y$ mit Überlagerungsabbildung $p:B\to Y$. Sei $A$ die einelementige Menge und $X:=[0,1]$, dann hat der Morphismus $m:A\to X$, der die einelementige Menge auf $\{0\}\in [0,1]$ abbildet, die linke Hochhebungseigenschaft bezüglich $p$. Sei $g:X\to Y$ ein Weg und $f:A\to B$ Morphismus, der die einelementige Menge auf einen beliebigen Punkt $p^{-1}(g(0))\in B$ abbildet, dann gibt es genau einen Morphismus $h:X\to B$, so dass das obige Diagramm kommutiert.

Literatur

• Mark Hovey: Monoidal model categories. 1999; Vorlage:ArXiv.