Seiberg-Witten-Invariante

In der Mathematik sind die Seiberg-Witten-Invarianten wichtige Invarianten differenzierbarer 4-Mannigfaltigkeiten. Zu ihren Anwendungen gehören der Beweis der Thom-Vermutung oder der Nichtexistenz von Metriken positiver Skalarkrümmung, Zerlegungen als zusammenhängender Summe oder symplektischer Strukturen auf verschiedenen 4-Mannigfaltigkeiten. Weiterhin können sie verschiedene Differentialstrukturen auf topologischen 4-Mannigfaltigkeiten unterscheiden.

Definition

Sei $M$ eine kompakte, differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer Riemannschen Metrik und einer Spin^c-Struktur $𝔰$ mit assoziierten Spinorbündeln $W^{\pm }$ und Determinantenbündel $L$.

Für eine generische selbst-duale 2-Form $\eta$ ist der Raum $ℳ$ der Lösungen der gestörten Seiberg-Witten-Gleichungen eine kompakte, orientierbare Mannigfaltigkeit der Dimension

$i(𝔰):=\frac{1}{4}(c_1(L{)}^2-2\chi (M)-3sign(M))$.

Die Eichgruppe $𝒢=Map(M,S^1)$ und ihre Untergruppe ${𝒢}_0=\{u\in 𝒢:u(x_0)=1\}$ wirken auf $ℳ$. Der Quotientenraum $ℳ/{𝒢}_0$ ist ein $S^1$-Hauptfaserbündel über $ℳ/𝒢$. Sei $e\in H^2(ℳ/𝒢;\mathbb{Z})$ seine Eulerklasse.

Wenn $b_2^{+}(M)-b_1(M)$ ungerade ist, dann ist die Dimension von $ℳ$ eine gerade Zahl $i(L)=2d$. Man definiert dann

$SW(M,𝔰;g,\eta ):=\underset{ℳ}{\int }{e}^d$.

Für $b_2^{+}(M)\ge 2$ hängt diese Invariante nicht von $g$ und $\eta$ ab und wird als Seiberg-Witten-Invariante $SW(M,𝔰)$ bezeichnet.

Eigenschaften

Im Folgenden sei stets $b_2^{+}(M)-b_1(M)$ ungerade und $b_2^{+}(M)\ge 2$. Eine Kohomologieklasse $c\in H^2(M;\mathbb{Z})$ heißt Basisklasse, wenn es eine Spin^c-Struktur $𝔰$ mit $c_1(L)=c$ und $SW(M,𝔰)=0$ gibt.

• Wenn $f:M_1\to M_2$ ein orientierungserhaltender Diffeomorphismus ist, dann ist $SW(M_1,f^{*}𝔰)=SW(M,𝔰).$
• Für jede Basisklasse $c$ gilt $c\cdot c\ge 2\chi (M)+3sign(M)$.
• Für die duale Spin^c-Struktur ${𝔰}^{*}$ gilt $SW(M,{𝔰}^{*})=(-1{)}^{\frac{\chi (M)+sign(M)}{4}}SW(M,𝔰).$
• $M$ hat nur endlich viele Basisklassen.
• Wenn $M$ eine Metrik positiver Skalarkrümmung besitzt, dann gilt $SW(M,𝔰)=0$ für alle $𝔰$.
• Wenn $M=X\mathrm{♯}Y$ für kompakte, orientierbare, glatte 4-Mannigfaltigkeiten $X,Y$ mit $b_2^{+}>0$, dann gilt $SW(M,𝔰)=0$ für alle $𝔰$.
• Wenn $b_1(X)=b_2^{+}(X)=0$ gilt und für eine Spin^c-Struktur ${𝔰}_X$ mit $c_1=c_X$ die Ungleichung $c\cdot c-2\chi (M)-3sign(M)+c_X\cdot c_X+b_2(X)\ge 0$ gilt, dann ist $SW(M,𝔰)=SW(M\mathrm{♯}X,𝔰\mathrm{♯}{𝔰}_X)$.
• Für eine eingebettete, kompakte, orientierbare Fläche $\mathrm{\Sigma }\subset M$ des Geschlechts $g(\mathrm{\Sigma })$ gilt $2g(\mathrm{\Sigma })-2\ge \mathrm{\Sigma }\cdot \mathrm{\Sigma }+|c\cdot \mathrm{\Sigma }|$ für jede Basisklasse $c$.
• Wenn $M$ eine symplektische Mannigfaltigkeit mit kanonischer Spin^c-Struktur ${𝔰}_{can}$ ist, dann ist $SW(M,{𝔰}_{can})=1$.

Literatur

• John Morgan: Lectures on Seiberg-Witten invariants, Lecture Notes in Mathematics, 1629 (2nd ed.), Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-41221-2
• Liviu Nicolaescu: Notes on Seiberg-Witten theory, Graduate Studies in Mathematics, 28, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2145-8
• Alexandru Scorpan: The wild world of 4-manifolds, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3749-8

Weblinks

• Dietmar Salamon: Spin geometry and Seiberg-Witten invariants