W*-dynamisches System

W*-dynamische Systeme werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht. Es handelt sich um eine Konstruktion, mit der man aus einer Von-Neumann-Algebra und einer lokalkompakten Gruppe, die in gewisser Weise auf der Von-Neumann-Algebra operiert, eine neue Von-Neumann-Algebra gewinnt.

Definition

Ein W*-dynamisches System ist ein Tripel $(A,G,\alpha )$ bestehend aus einer Von-Neumann-Algebra $A$ über einem Hilbertraum $H$, einer lokalkompakten Gruppe $G$ und einem Homomorphismus $\alpha :G\to \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(A),s\mapsto {\alpha }_s$ von $G$ in die Gruppe der *-Automorphismen von $A$, der punktweise stark stetig ist, das heißt, dass alle Abbildungen $G\to H,s\mapsto {\alpha }_s(a)\xi ,a\in A,\xi \in H$ normstetig sind.

Man kann die starke Operatortopologie durch die schwache oder ultraschwache Operatortopologie ersetzen und erhält dabei denselben Begriff.

Konstruktion des Kreuzproduktes

Zu einem W*-dynamischen System $(A,G,\alpha )$ konstruieren wir wie folgt eine Von-Neumann-Algebra $A{⋉}_{\alpha }G$. Wir geben hier die in vorgestellte Konstruktion wieder. Als erstes beschreiben wir den Hilbertraum, auf dem die neue Von-Neumann-Algebra operieren soll.

$A$ operiere auf dem Hilbertraum $H$ und L²(G) sei der Hilbertraum der bzgl. des Haarmaßes quadratintegrablen Funktionen. Das Hilbertraum-Tensorprodukt $H\otimes L^2(G)$ kann man mit dem Raum $L^2(G,H)$ der messbaren Funktionen $\xi :G\to H$ mit $\underset{G}{\int }\Vert \xi (s){\Vert }^2\mathrm{d}s<\mathrm{\infty }$ identifizieren. Die Abbildung, die einem Elementartensor ${\xi }_0\otimes h$ die Funktion $s\mapsto h(s){\xi }_0$ zuordnet, kann zu einem unitären Operator

$H\otimes L^2(G)\to L^2(G,H)$

fortgesetzt werden.

Nun zu den Operatoren der zu definierenden Von-Neumann-Algebra. Da der Raum $C_c(G,H)$ der stetigen Funktionen $G\to H$ mit kompaktem Träger dicht in $L^2(G,H)$ liegt, genügt es, die Wirkung der Operatoren auf $C_c(G,H)$ anzugeben. Zu jedem $x\in A$ definieren wir den Operator $\pi (x)$ auf $L^2(G,H)$ durch

$(\pi (x)f)(s):={\alpha }_{s^{-1}}(x)f(s),f\in C_c(G,H),s\in G$

und für jedes $t\in G$ den Operator $\lambda (t)$ auf $L^2(G,H)$ durch

$(\lambda (t)f)(s):=f(t^{-1}s),f\in C_c(G,H),s\in G$.

Dann ist $\pi$ ist eine Hilbertraum-Darstellung von $A$ und $\lambda$ eine Gruppendarstellung von $G$ auf dem Hilbertraum $L^2(G,H)$ und es gilt

$\lambda (t)\pi (x)\lambda (t{)}^{*}:=\pi ({\alpha }_t(x))$ für alle $x\in A,t\in G$.

Daher ist die lineare Hülle der Operatoren $\pi (x)\lambda (t)$ eine bzgl. der Involution abgeschlossene Teilalgebra von $L(L^2(G,H))$, der beschränkten, linearen Operatoren auf $L^2(G,H)$, deren schwacher Abschluss eine Von-Neumann-Algebra ist. Diese heißt die Von-Neumann-Algebra des W*-dynamischen Systems $(A,G,\alpha )$ oder das Kreuzprodukt aus $A$ und $G$ (vermöge $\alpha$) und wird mit $A{⋉}_{\alpha }G$ bezeichnet. Alternative Bezeichnungen sind $A{\otimes }_{\alpha }G$, $A{\times }_{\alpha }G$ oder $W^{*}(A,G,\alpha )$.

Beachtet man die oben angegebene Isomorphie $H\otimes L^2(G)\cong L^2(G,H)$, so kann man zeigen, dass $A{⋉}_{\alpha }G$ im Tensorprodukt $A\bar{\otimes }L(L^2(G))$ enthalten ist.

Dualität

Sei $G$ eine kommutative, lokalkompakte Gruppe. Dann gibt es dazu die Dualgruppe $\hat{G}$ der stetigen Gruppenhomomorphismen $G\to \{z\in ℂ;|z|=1\}$. Diese ist mit der Topologie der kompakten Konvergenz wieder eine kommutative, lokalkompakte Gruppe. Für einen solchen Gruppenhomomorphismus $\chi \in \hat{G}$ definieren wir den unitären Operator $v_{\chi }$ auf $L^2(G)$ durch die Formel

$(v_{\chi }f)(s):=\overline{\chi (s)}f(s),f\in C_c(G),s\in G$.

Dann ist $1_H\otimes v_{\chi }$ ein unitärer Operator über $H\otimes L^2(G)$ und man kann zeigen, dass $(1\otimes v_{\chi })A{⋉}_{\alpha }G(1\otimes v_{\chi }{)}^{*}=A{⋉}_{\alpha }G$ gilt, das heißt, dass durch

${\hat{\alpha }}_{\chi }(y):=(1\otimes v_{\chi })y(1\otimes v_{\chi }{)}^{*}$

ein Automorphismus auf $A{⋉}_{\alpha }G$ definiert wird, der $(A{⋉}_{\alpha }G,\hat{G},\hat{\alpha })$ zu einem W*-dynamischen System macht. Man kann also das Kreuzprodukt $(A{⋉}_{\alpha }G){⋉}_{\hat{\alpha }}\hat{G}$ bilden und zeigen, dass dieses isomorph zu $A\bar{\otimes }L(L^2(G))$ ist.

Anwendungen

Konstruktion von Faktoren

Es sei $T$ ein Borel-Raum, der Borel-isomorph zu [0,1] ist, und $\mu$ ein σ-endliches Maß auf $T$ ohne Atome, das heißt, es ist $\mu (\{t\})=0$ für alle $t\in T$. Wir betrachten injektive Gruppenhomomorphismen

${\alpha }^{\prime }:G\to \mathrm{I}\mathrm{s}\mathrm{o}(T,\mu )$

einer diskreten Gruppe $G$ in die Gruppe der Borel-Isomorphismen auf $(T,\mu )$, so dass folgendes gilt:

• Aus $\mu (N)=0$ folgt für alle $g\in G$ auch $\mu (\alpha {\text{'}}_g(N))=0$.
• $G$ operiere frei auf $(T,\mu )$, das heißt $\mu (\{t\in T;\alpha {\text{'}}_g(t)=t\})=0$ für alle vom neutralen Element verschiedenen $g\in G$.
• $G$ operiere ergodisch auf $(T,\mu )$, das heißt ist $N\subset T$ mit $\mu (\alpha {\text{'}}_g(N)\setminus N)=0$ für ein vom neutralen Element verschiedenes $g\in G$, so ist $\mu (N)=0$ oder $\mu (T\setminus N)=0$.

Aus ${\alpha }^{\prime }:G\to \mathrm{I}\mathrm{s}\mathrm{o}(T,\mu )$ erhält man einen Gruppenhomomorphismus

$\alpha :G\to \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(L^{\mathrm{\infty }}(T,\mu )),({\alpha }_g(f))(t):=f(\alpha {\text{'}}_{g^{-1}}(t))$

in die Automorphismengruppe der abelschen Von-Neumann-Algebra $L^{\mathrm{\infty }}(T,\mu )$ und man erhält ein W*-dynamisches System $(L^{\mathrm{\infty }}(T,\mu ),G,\alpha )$. Daher kann man das Kreuzprodukt $L^{\mathrm{\infty }}(T,\mu ){⋉}_{\alpha }G$ bilden. Für dieses gilt:

• Ist $\mu$ nun $G$-invariant, das heißt $\mu (\alpha {\text{'}}_g(N))=\mu (N)$ für alle messbaren Teilmengen $N\subset T$, so ist $L^{\mathrm{\infty }}(T,\mu ){⋉}_{\alpha }G$ ein Typ II Faktor, und zwar ein Typ II₁ Faktor, falls $\mu (T)<\mathrm{\infty }$, und anderenfalls ein Typ II_∞ Faktor.

• Ist $\mu$ nicht $G$-invariant, wohl aber invariant bzgl. einer Untergruppe von $G$, die ebenfalls ergodisch auf $(T,\mu )$ operiert, so ist $L^{\mathrm{\infty }}(T,\mu ){⋉}_{\alpha }G$ ein Typ III Faktor.

Dafür lassen sich folgende konkrete Beispiele angeben:

Konkrete Beispiele

(i) Sei $T=𝕋:=\{z\in ℂ;|z|=1\}=\{e^{2\pi it};t\in [0,1]\}$ die Kreislinie mit dem Haarmaß $\mu$. Es sei $G=\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ und

${\alpha }^{\prime }:G\to \mathrm{I}\mathrm{s}\mathrm{o}(𝕋,\mu ),\alpha {\text{'}}_{q+\mathbb{Z}}(e^{2\pi it}):=e^{2\pi i(t+q)}$.

Dies erfüllt die Voraussetzungen obigen Satzes, und es folgt, dass $L^{\mathrm{\infty }}(𝕋,\mu ){⋉}_{\alpha }\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ ein Typ II₁-Faktor ist.

(ii) Sei $T=ℝ$ mit dem Lebesguemaß $\lambda$.

${\alpha }^{\prime }:\mathbb{Q}\to \mathrm{I}\mathrm{s}\mathrm{o}(ℝ,\lambda ),\alpha {\text{'}}_q(t):=t+q$.

Dies erfüllt die Voraussetzungen obigen Satzes, und es folgt, dass $L^{\mathrm{\infty }}(ℝ,\lambda ){⋉}_{\alpha }\mathbb{Q}$ ein Typ II_∞-Faktor ist.

(iii) Sei $T=ℝ$ mit dem Lebesguemaß $\lambda$ und $G$ sei die multiplikative Matrizengruppe $G=\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& 1\end{array}\right);a,b\in \mathbb{Q}\}$. Für $g=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& 1\end{array}\right)$ sei $\alpha {\text{'}}_g(t):=at+b$. Dann erfüllt ${\alpha }^{\prime }:G\to \mathrm{I}\mathrm{s}\mathrm{o}(ℝ,\lambda )$ die Voraussetzungen obigen Satzes, und es folgt, dass $L^{\mathrm{\infty }}(ℝ,\lambda ){⋉}_{\alpha }G$ ein Typ III -Faktor ist.

Die modulare Gruppe

Für σ-endliche Von-Neumann-Algebren $A$ liefert die Tomita-Takesaki-Theorie zu jedem treuen, normalen Zustand ein W*-dynamisches System $(A,ℝ,\sigma )$. Die Abhängigkeit vom Zustand wird durch einen sogenannten Connes-Kozykel beschrieben, woraus sich ergibt, dass die Kreuzprodukte der W*-dynamischen Systeme zu verschiedenen Zuständen isomorph sind. Man kann daher von dem Kreuzprodukt $A{⋉}_{\sigma }ℝ$ mit der modularen Gruppe sprechen.

Die Dualität $(A{⋉}_{\sigma }ℝ){⋉}_{\hat{\sigma }}ℝ\cong A\otimes L(L^2(ℝ))$ spielt eine wichtige Rolle im Satz von Takesaki über die Struktur der Typ III Von-Neumann-Algebren.

Siehe auch

• C*-dynamisches System