Normaler Zustand

Normale Zustände werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht. Es handelt sich dabei um gewisse stetige, lineare Funktionale auf einer Von-Neumann-Algebra.

Definitionen

Es sei $A$ eine Von-Neumann-Algebra über einem Hilbertraum $H$. Ein Zustand ist ein lineares Funktional $f:A\to ℂ$ mit $f(1)=1$ und $f(a^{*}a)\ge 0$ für alle $a\in A$. Man kann zeigen, dass Zustände automatisch stetig sind mit $\Vert f\Vert =1$, das gilt sogar für jede C*-Algebra. Für Von-Neumann-Algebren stehen weitere Operatortopologien zur Verfügung und es ist daher nur natürlich, Stetigkeitseigenschaften bzgl. dieser Topologien zu studieren.

Ferner sind Von-Neumann-Algebren gegenüber der Supremumsbildung nach oben gerichteter Familien selbstadjungierter Elemente abgeschlossen. Dabei ist die Ordnung $a\le b$ für $a,b\in A$ durch die Bedingung $⟨a\xi ,\xi ⟩\le ⟨b\xi ,\xi ⟩$ für alle $\xi \in H$ definiert. Man wird Zustände betrachten wollen, die Suprema erhalten. Wir definieren daher:

Ein Zustand $f$ auf der Von-Neumann-Algebra $A$ heißt normal, wenn folgendes gilt: Ist $(a_i{)}_{i\in I}$ ein monoton wachsendes Netz in $A$ mit Supremum $a\in A$, so gilt $\underset{i\in I}{\sup }f(a_i)=f(a)$.

Ein Spezialfall eines monotonen Netzes entsteht durch eine Familie paarweise orthogonaler Orthogonalprojektionen, das heißt von Elementen $e_i\in A$ mit $e_i^{*}=e_i=e_i^2$ und $e_i{e}_j=0$ für alle $i=j$. Dann ist die Familie aller endlichen Summen von Elementen dieser Familie ein aufsteigendes Netz von Orthogonalprojektionen, dessen Supremum man die Summe $\sum _{i\in I}{e}_i$ nennt.

Ein Zustand $f$ auf der Von-Neumann-Algebra $A$ heißt vollständig additiv, wenn folgendes gilt: Ist $(e_i{)}_{i\in I}$ eine Familie paarweise orthogonaler Orthogonalprojektionen in $A$, so ist $f(\sum _{i\in I}{e}_i)=\sum _{i\in I}f(e_i)$.

Charakterisierung normaler Zustände

Definitionsgemäß ist die vollständige Additivität schwächer als die Normalität, da bei ersterer nur die Supremumsbildung ganz bestimmter Netze gefordert wird. Da Orthogonalprojektionen die Norm 1 haben, handelt es sich zudem um eine Bedingung, die auf die Einheitskugel $A_1$ von $A$ beschränkt ist. Es gilt:

Für einen Zustand $f$ auf der Von-Neumann-Algebra $A$ sind folgende Aussagen äquivalent:

• $f$ ist normal.
• $f$ ist vollständig additiv.
• Es gibt einen positiven Spurklasseoperator $s$ mit $f(a)=\mathrm{S}\mathrm{p}(sa)$ für alle $a\in A$
• $f$ ist bzgl. der ultraschwachen Topologie stetig.
• $f$ ist bzgl. der ultrastarken Topologie stetig.
• $f{|}_{A_1}$ ist bzgl. der schwachen Operatortopologie stetig.
• $f{|}_{A_1}$ ist bzgl. der starken Operatortopologie stetig.

Dabei bedeutet $f{|}_{A_1}$ die Einschränkung von $f$ auf die Einheitskugel $A_1$. Die ersten beiden Bedingungen beziehen sich nur auf die Ordnungsstruktur der Von-Neumann-Algebra und diese lässt sich sogar rein algebraisch definieren, denn $a\le b$ ist äquivalent zu $b-a=c^{*}c$ für ein $c\in A$. Obiger Satz zeigt, dass diese Bedingungen zu rein topologischen Bedingungen äquivalent sind.

Prädual

Die Stetigkeitsbedingungen in obiger Liste äquivalenter Bedingungen kann man auch an beliebige lineare Funktionale $A\to ℂ$ stellen; man spricht dann von normalen Funktionalen. Die normalen Funktionale bilden einen Unterraum des Dualraums $A^{\mathrm{\#}}$ von $A$. Dieser ist normabgeschlossen und wird von den normalen Zuständen erzeugt; er wird mit $A_{\mathrm{\#}}$ bezeichnet.

Jedes Element $a\in A$ der Von-Neumann-Algebra definiert mittels ${\phi }_a(f):=f(a)$ ein stetiges lineares Funktional ${\phi }_a$ auf $A_{\mathrm{\#}}$ und man kann zeigen, dass $\phi :A\to (A_{\mathrm{\#}}{)}^{\mathrm{\#}},a\mapsto {\phi }_a$ ein isometrischer Isomorphismus ist. In diesem Sinne ist $A$ der Dualraum von $A_{\mathrm{\#}}$; letzteren nennt man daher den Prädualraum von $A$.

Diese Überlegungen zeigen, dass jede Von-Neumann-Algebra als Dualraum eines Banachraums auftritt. Nach einem Satz von S. Sakai charakterisiert dies die Von-Neumann-Algebren und den C*-Algebren.

Darstellungen

Bekanntlich definiert jeder Zustand $f$ auf einer C*-Algebra $A$ mittels GNS-Konstruktion eine Hilbertraum-Darstellung ${\pi }_f:A\to L(H_f)$ in die Algebra der Operatoren auf einem Hilbertraum $H_f$. Ist $A$ eine Von-Neumann-Algebra und $f$ ein normaler Zustand, so ist ${\pi }_f$ ultraschwach stetig und das Bild ${\pi }_f(A)$ ist eine Von-Neumann-Algebra.

Siehe auch

• σ-endliche Von-Neumann-Algebren zeichnen sich dadurch aus, dass es auf ihnen einen treuen, normalen Zustand gibt.