C*-dynamisches System

C*-dynamische Systeme werden im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis untersucht. Es handelt sich um eine Konstruktion, mit der man aus einer C*-Algebra und einer lokalkompakten Gruppe, die in gewisser Weise auf der C*-Algebra operiert, eine neue C*-Algebra gewinnt. Diese Konstruktion verallgemeinert die klassischen dynamischen Systeme, bei denen die Gruppe der ganzen Zahlen auf einem kompakten Hausdorffraum operiert. Der Prototyp eines C*-dynamischen Systems ist die irrationale Rotationsalgebra.

Definition

Unter einem C*-dynamischen System versteht man ein Tripel $(A,G,\alpha )$ bestehend aus einer C*-Algebra $A$, einer lokalkompakten Gruppe $G$ und einem Homomorphismus $\alpha :G\to \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(A),s\mapsto {\alpha }_s$ von $G$ in die Gruppe der *-Automorphismen von $A$, so dass alle Abbildungen $G\to A,s\mapsto {\alpha }_s(a),a\in A$ stetig sind. (Unter Morphismen auf C*-Algebren versteht man stets solche, die auch die Involution erhalten; man schreibt nur $\mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(A)$, es sind aber *-Automorphismen gemeint.)

Der einfachste und für viele Anwendungen wichtige Fall ist $G=\mathbb{Z}$. Da die Gruppe $\mathbb{Z}$ diskret ist, entfällt die Stetigkeitsbedingung. Ferner ist $\alpha$ bereits durch ${\alpha }_1\in \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(A)$ festgelegt. Ein C*-dynamisches System mit Gruppe $\mathbb{Z}$ ist also nichts weiter als eine C*-Algebra mit einem ausgezeichneten Automorphismus.

Kovariante Darstellungen

Bekanntlich kann man sowohl C*-Algebren als auch lokalkompakte Gruppen auf Hilberträumen darstellen. Ist $(A,G,\alpha )$ ein C*-dynamisches System und sind $\pi :A\to B(H)$ eine Hilbertraum-Darstellung von $A$ und $u:G\to B(H),s\mapsto u_s$ eine unitäre Darstellung von $G$ auf demselben Hilbertraum, so nennt man das Paar $(\pi ,u)$ eine kovariante Darstellung, falls

$\pi ({\alpha }_s(a))=u_s\pi (a)u_s^{*}$ für alle $a\in A$ und $s\in G$.

Mittels einer kovarianten Darstellung wird also die durch $\alpha$ vermittelte Gruppenoperation von $G$ auf $A$ durch unitäre Operatoren dargestellt.

Das Kreuzprodukt

Ist $(A,G,\alpha )$ ein C*-dynamisches System, so definiert man auf dem Raum $K(A,G,\alpha )$ der stetigen Funktionen $G\to A$ mit kompaktem Träger für $x,y\in K(A,G,\alpha )$ und $\beta \in ℂ$:

• $(\beta x)(t):=\beta x(t)$
• $(x+y)(t):=x(t)+y(t)$
• $(x\star y)(t):=\underset{G}{\int }x(s){\alpha }_s(y(s^{-1}t))\mathrm{d}\mu (s)$
• $(x^{*})(t):=\mathrm{\Delta }(t{)}^{-1}{\alpha }_t(x(t^{-1}{)}^{*})$
• $\Vert x{\Vert }_1:=\underset{G}{\int }\Vert x(s)\Vert \mathrm{d}\mu (s)$

Dabei ist $t\in G$, $\mu$ ein links-Haarsches Maß auf $G$ und $\mathrm{\Delta }$ die modulare Funktion von $G$. Man rechnet nach, dass $K(A,G,\alpha )$ durch diese Definitionen zu einer normierten Algebra mit isometrischer Involution wird. Das von $\alpha$ abhängige Produkt $\star$ nennt man Kreuzprodukt. Die Vervollständigung ist dann eine Banach-*-Algebra, die mit $L^1(A,G,\alpha )$ bezeichnet wird.

Ist $(\pi ,u)$ eine kovariante Darstellung des C*-dynamischen Systems $(A,G,\alpha )$ auf einem Hilbertraum $H$, so wird durch

$(\pi \times u)(x):=\underset{G}{\int }\pi (x(t))u_t\mathrm{d}\mu (t),x\in L^1(A,G,\alpha )$

eine nicht-degenerierte Hilbertraum-Darstellung von $L^1(A,G,\alpha )$ definiert. Ist umgekehrt eine nicht-degenerierte Hilbertraum-Darstellung von $L^1(A,G,\alpha )$ gegeben, so gibt es genau eine kovariante Darstellung des C*-dynamischen Systems, so dass sich die gegebene *-Darstellung gemäß obiger Formel ergibt. Die Kenntnis aller kovarianten Darstellungen des C*-dynamischen Systems entspricht daher der Kenntnis aller nicht-degenerierten *-Darstellungen der zugehörigen $L^1$-Algebra.

Die einhüllende C*-Algebra von $L^1(A,G,\alpha )$ wird mit $C^{*}(A,G,\alpha )$ oder $A{⋉}_{\alpha }G$ bezeichnet und heißt das Kreuzprodukt des C*-dynamischen Systems. Die kovarianten Darstellungen eines C*-dynamischen Systems führen somit zu nicht-degenerierten Hilbertraum-Darstellungen von $A{⋉}_{\alpha }G$ und umgekehrt.

Ist speziell $A=ℂ$, so operiert jede lokalkompakte Gruppe $G$ trivial auf $ℂ$, das heißt ${\alpha }_s={\mathrm{i}\mathrm{d}}_{ℂ}$ für alle $s\in G$, und obige Konstruktion liefert die Gruppen-C*-Algebra $C^{*}(G)$. Die Konstruktion des Kreuzproduktes verallgemeinert daher die Konstruktion der Gruppen-C*-Algebra.

Das reduzierte Kreuzprodukt

Wie im Falle der Gruppen-C*-Algebren betrachtet man auch für C*-dynamische Systeme $(A,G,\alpha )$ linksreguläre Darstellungen, allerdings erhält man hier für jede gegebene Hilbertraum-Darstellung von $A$ eine solche.

Ist $\pi :A\to B(H)$ eine Hilbertraum-Darstellung von $A$, so konstruiert man eine kovariante Darstellung $(\tilde{\pi },\lambda )$ auf dem Hilbertraum $L^2(G,H)$ aller messbaren Funktionen $\xi :G\to H$ mit $\underset{G}{\int }\Vert \xi (t){\Vert }^2\mathrm{d}\mu (s)<\mathrm{\infty }$ durch folgende Formeln:

• $(\tilde{\pi }(a)\xi )(t)=\pi ({\alpha }_{t^{-1}}(a))(\xi (t))$
• $({\lambda }_s\xi )(t)=\xi (s^{-1}t)$,

wobei $a\in A$, $s,t\in G$ und $\xi \in L^2(G,H)$. Man rechnet nach, dass hierdurch tatsächlich eine kovariante Darstellung definiert ist. Ist nun speziell ${\pi }_u:A\to H_u$ die universelle Darstellung von $A$, so heißt der Normabschluss von $(\widetilde{{\pi }_u}\times \lambda )(L^1(A,G,\alpha ))$ in $B(L^2(G,H_u))$ das reduzierte Kreuzprodukt des C*-dynamischen Systems; dieses wird mit $C_r^{*}(A,G,\alpha )$ oder $A{⋉}_{\alpha r}G$ bezeichnet.

Betrachtet man wieder den Spezialfall $A=ℂ$ mit der trivialen Operation der Gruppe $G$, so liefert die Konstruktion des reduzierten Kreuzproduktes genau die reduzierte Gruppen-C*-Algebra.

Da die kovariante Darstellung $(\tilde{\pi },\lambda )$ zu einer *-Darstellung des Kreuzproduktes $A{⋉}_{\alpha }G$ führt, erhält man einen surjektiven Homomorphismus $A{⋉}_{\alpha }G\to A{⋉}_{\alpha r}G$, den man ebenfalls die linksreguläre Darstellung nennt. Wie im Falle von Gruppen-C*-Algebren gilt folgender Satz:

Ist $(A,G,\alpha )$ ein C*-dynamisches System mit mittelbarer Gruppe $G$, so ist die linksreguläre Darstellung $A{⋉}_{\alpha }G\to A{⋉}_{\alpha r}G$ ein Isomorphismus.

Speziell für kompakte und für abelsche Gruppen (wichtiger Spezialfall $\mathbb{Z}$) muss man also nicht zwischen $A{⋉}_{\alpha }G$ und $A{⋉}_{\alpha r}G$ unterscheiden, denn diese Gruppen sind mittelbar.

Klassische dynamische Systeme

Klassische dynamische Systeme sind Operationen der Gruppe $\mathbb{Z}$ auf einem kompakten Hausdorffraum $X$. Genauer ist ein Homöomorphismus $\sigma :X\to X$ gegeben, und dieser definiert die Gruppenoperation $\mathbb{Z}\times X\to X,(n,x)\mapsto {\sigma }^n(x)$. $\sigma$ definiert auch einen Automorphismus auf der C*-Algebra $C(X)$ der stetigen Funktionen $X\to ℂ$, der $f\in C(X)$ auf $f\circ {\sigma }^{-1}$ abbildet. Damit liegt ein C*-dynamisches System $(C(X),\mathbb{Z},\alpha )$ vor, wobei ${\alpha }_n(f)=f\circ {\sigma }^{-n}$. Es können dann Beziehungen zwischen dem klassischen dynamischen System $(X,\sigma )$ und der C*-Algebra $C(X){⋉}_{\alpha }\mathbb{Z}$ aufgestellt werden. Der Prototyp dieser Konstruktion ist die irrationale Rotationsalgebra.

Siehe auch

• Takai-Dualität
• W*-dynamisches System