Borel-Isomorphie

Als Borel-Isomorphie wird eine Beziehung zwischen zwei Messräumen in der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, bezeichnet. Sind zwei Messräume Borel-isomorph, so sind sie aus maßtheoretischer Sicht gleich. Das erlaubt es, Argumentationen und Strukturen von dem einen Raum auf den anderen Raum zu übertragen.

Definition

Gegeben seien zwei Messräume $(S,ℬ(S)),(T,ℬ(T))$, wobei als σ-Algebra jeweils die entsprechende Borelsche σ-Algebra gewählt sei.

Dann heißen die beiden Messräume Borel-isomorph, wenn es eine Funktion

$f:(S,ℬ(S))\to (T,ℬ(T))$

gibt, die folgende Eigenschaften besitzt:

• $f$ ist bijektiv
• $f$ ist bimessbar

Dabei heißt eine Funktion $f$ bimessbar, wenn sowohl $f$ als auch die Umkehrfunktion $f^{-1}$ messbar sind.

Borel-Räume

Wichtiges Beispiel für Borel-Isomorphie sind die sogenannten Borel-Räume. Dies sind Messräume, die Borel-isomorph zu einer Borel-messbaren Teilmenge der reellen Zahlen (versehen mit der entsprechenden Spur-$\sigma$-Algebra der Borelschen σ-Algebra auf $ℝ$) sind.

Belege

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