Tensorprodukt für Von-Neumann-Algebren

In der mathematischen Theorie der Von-Neumann-Algebren kann man ein Tensorprodukt definieren, mit dem man aus zwei Von-Neumann-Algebren eine dritte erhält. Da Von-Neumann-Algebren auf Hilberträumen operieren und dort gewisse Abschlusseigenschaften haben müssen, reicht die Bildung des algebraischen Tensorproduktes nicht aus; man verwendet daher die in diesem Artikel beschriebene Konstruktion.

Konstruktion

Es seien $𝒜\subset L(H)$ und $ℬ\subset L(K)$ zwei Von-Neumann-Algebren auf den Hilberträumen $H$ und $K$. Zwei Operatoren $A\in 𝒜$ und $B\in ℬ$ definieren einen stetigen linearen Operator $A\otimes B$ auf dem Hilbertraum-Tensorprodukt $H\otimes K$, und es gilt sogar $\Vert A\otimes B\Vert =\Vert A\Vert \cdot \Vert B\Vert$ (siehe Artikel Hilbertraum-Tensorprodukt). Die von allen Operatoren der Form $A\otimes B$ mit $A\in 𝒜$ und $B\in ℬ$ in $L(H\otimes K)$ erzeugte Von-Neumann-Algebra, das heißt der Abschluss der Menge aller endlichen Summen solcher Operatoren bezüglich der schwachen Operatortopologie, heißt das Tensorprodukt aus $𝒜$ und $ℬ$ und wird mit $𝒜\bar{\otimes }ℬ$ bezeichnet, wobei der Querstrich über dem Tensorproduktzeichen an die Abschlussoperation erinnern soll.

Der Kommutantensatz

Sind $𝒜\subset L(H)$ und $ℬ\subset L(K)$ zwei Von-Neumann-Algebren, $A\in 𝒜$ und $B\in ℬ$ sowie $A^{\text{'}}$ und $B^{\text{'}}$ aus den Kommutanten ${𝒜}^{\text{'}}\subset L(H)$ bzw. ${ℬ}^{\text{'}}\subset L(K)$, so ist klar, dass $A\otimes B$ und $A^{\text{'}}\otimes B^{\text{'}}$ in $L(H\otimes K)$ vertauschen, denn $(A\otimes B)(A^{\text{'}}\otimes B^{\text{'}})=A{A}^{\text{'}}\otimes B{B}^{\text{'}}=A^{\text{'}}A\otimes B^{\text{'}}B=(A^{\text{'}}\otimes B^{\text{'}})(A\otimes B)$. Daraus ergibt sich sofort ${𝒜}^{\text{'}}\bar{\otimes }{ℬ}^{\text{'}}\subset (𝒜\bar{\otimes }ℬ{)}^{\text{'}}$. Der Kommutantensatz sagt aus, dass hier sogar Gleichheit gilt:

• Sind $𝒜\subset L(H)$ und $ℬ\subset L(K)$ zwei Von-Neumann-Algebren, so gilt ${𝒜}^{\text{'}}\bar{\otimes }{ℬ}^{\text{'}}=(𝒜\bar{\otimes }ℬ{)}^{\text{'}}$.

Eine einfache Konsequenz ist $L(H)\bar{\otimes }L(K)=L(H\otimes K)$, was sich aber auch ohne Kommutantensatz leicht beweisen lässt.

Der Kommutantensatz kann auch benutzt werden, um zu zeigen, dass das Zentrum eines Tensorproduktes von Von-Neumann-Algebren gleich dem Tensorprodukt der Zentren ist. Insbesondere ist das Tensorprodukt von Faktoren wieder ein Faktor.

Typ des Tensorprodukts

Haben die Von-Neumann-Algebren $𝒜$ und $ℬ$ einen reinen Typ, so auch deren Tensorprodukt, und der Typ kann folgender Tabelle entnommen werden:

$\bar{\otimes }$	$I_n,n$ endlich	$I_n,n$ unendlich	$I{I}_1$	$I{I}_{\mathrm{\infty }}$	$III$
$I_m,m$ endlich	$I_{mn}$	$I_{mn}$	$I{I}_1$	$I{I}_{\mathrm{\infty }}$	$III$
$I_m,m$ unendlich	$I_{mn}$	$I_{mn}$	$I{I}_{\mathrm{\infty }}$	$I{I}_{\mathrm{\infty }}$	$III$
$I{I}_1$	$I{I}_1$	$I{I}_{\mathrm{\infty }}$	$I{I}_1$	$I{I}_{\mathrm{\infty }}$	$III$
$I{I}_{\mathrm{\infty }}$	$I{I}_{\mathrm{\infty }}$	$I{I}_{\mathrm{\infty }}$	$I{I}_{\mathrm{\infty }}$	$I{I}_{\mathrm{\infty }}$	$III$
$III$	$III$	$III$	$III$	$III$	$III$

Im Allgemeinen hat eine Von-Neumann-Algebra keinen reinen Typ, sondern ist nach dem Satz von der Typzerlegung eine endliche direkte Summe von Von-Neumann-Algebren der Typen $I_n,I{I}_1,I{I}_{\mathrm{\infty }}$ bzw. $III$. Damit kann obige Tabelle zur Typbestimmung der Bestandteile des Tensorproduktes $𝒜\bar{\otimes }ℬ$ herangezogen werden.

Siehe auch

Eine ganz ähnliche Konstruktion führt in der Theorie der C*-Algebren zum sogenannten räumlichen Tensorprodukt.