Träger (Mathematik)

Vorlage:Dieser Artikel In der Mathematik bezeichnet der Träger (engl. support) meist die abgeschlossene Hülle der Nichtnullstellenmenge einer Funktion oder anderer Objekte.

Analysis

Träger einer Funktion

Der Träger von $f$ wird meist mit $\mathrm{Tr}(f)$ oder $\mathrm{supp}(f)$ bezeichnet.

Sei $A$ ein topologischer Raum und $f:A\to ℝ$ eine Funktion. Der Träger von $f$ besteht dann aus der abgeschlossenen Hülle der Nichtnullstellenmenge von $f$, formal:

$\mathrm{Tr}(f)=\mathrm{supp}(f):=\overline{\{x\in A\mid f(x)\ne 0\}}$

Träger einer Distribution

Sei $\mathrm{\Omega }$ eine offene Teilmenge des ${ℝ}^d$ und $T\in {𝒟}^{\prime }(\mathrm{\Omega })$ eine Distribution. Man sagt, dass ein Punkt $x_0\in \mathrm{\Omega }$ zum Träger von $T$ gehört, und schreibt $x_0\in \mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}(T)$, wenn für jede offene Umgebung $U\subset \mathrm{\Omega }$ von $x_0$ eine Funktion $\varphi \in 𝒟(U)$ existiert mit $T(\varphi )\ne 0$.

Falls $T$ eine reguläre Distribution $T=T_f$ mit stetigem f ist, so ist diese Definition äquivalent zur Definition des Trägers einer Funktion (der Funktion f).

Beispiele

Ist $f:ℝ\to ℝ$ mit $f(x)=x$, dann ist $\mathrm{supp}(f)=ℝ$, denn die Nichtnullstellenmenge von $f$ ist $ℝ\setminus \left\{0\right\}$, deren Abschluss ganz $ℝ$ ist. Dasselbe gilt für jede Polynom-Funktion außer der Nullfunktion.

Ist $f:ℝ\to ℝ$ mit $f(x)=1$, falls $\left|x\right|<1$, sonst $0$, dann ist $\mathrm{supp}(f)$ die Menge $\{x:\left|x\right|\le 1\}$.

Ist ${\chi }_{\mathbb{Q}}$ die charakteristische Funktion von $\mathbb{Q}:{\chi }_{\mathbb{Q}}(x)=1$, falls $x\in \mathbb{Q}$, und ${\chi }_{\mathbb{Q}}(x)=0$, falls $x\in ℝ\setminus \mathbb{Q}$, dann ist der Träger $ℝ$, also der Abschluss von $\mathbb{Q}$.

Sei $U$ eine offene Teilmenge des ${ℝ}^d$. Die Menge aller stetigen Funktionen von $U$ nach $ℝ$ mit kompaktem Träger bildet einen Vektorraum, der mit $C_c(U)$ bezeichnet wird.

Die Menge $C_c^{\mathrm{\infty }}(U)$ aller glatten (unendlich oft stetig differenzierbaren) Funktionen mit kompaktem Träger in $U$ spielt als Menge der „Testfunktionen“ eine große Rolle in der Theorie der Distributionen.

Die Delta-Distribution $\delta (f):=f(0)$ hat den Träger $\left\{0\right\}$, denn mit $\omega :={ℝ}^d\setminus \left\{0\right\}$ gilt: Ist $f$ aus $C_c^{\mathrm{\infty }}(\omega )$, dann ist $\delta (f)=0$.

Garbentheorie

Es sei $F$ eine Garbe abelscher Gruppen über einem topologischen Raum $X$.

Träger eines Schnittes

Für eine offene Teilmenge $U\subseteq X$ und einen Schnitt $s\in \mathrm{\Gamma }(U,F)$ heißt der Abschluss der Menge derjenigen Punkte $x\in X$, für die das Bild von $s$ im Halm $F_x$ ungleich null ist, der Träger von $s$, meist mit $\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\mathrm{p}s$ oder $|s|$ bezeichnet.

Insbesondere bezeichnet man als Träger eines auf einer Mannigfaltigkeit $M$ definierten Vektorfeldes $F:M\to TM$ den Abschluss der Menge der Punkte, in denen das Vektorfeld nicht Null ist.

Der Träger eines Schnittes ist nach Definition stets abgeschlossen.

Träger einer Garbe

Der Träger von $F$ selbst ist die Menge der Punkte $x\in X$, für die der Halm $F_x$ ungleich null ist.

Der Träger einer Garbe ist nicht notwendigerweise abgeschlossen, der Träger einer kohärenten Modulgarbe hingegen schon.

Literatur

• Roger Godement: Théorie des faisceaux. Hermann, Paris 1958.