Normtopologie

Eine Normtopologie ist in der Mathematik eine Topologie auf einem normierten Vektorraum, die durch die Norm des Vektorraums induziert wurde.

Definition

Beziehungen zwischen Norm, Metrik und Topologie

Ist $(V,\Vert \cdot \Vert )$ ein normierter Vektorraum, so induziert die Norm des Raums durch Differenzenbildung zweier Vektoren $x,y\in V$ eine Metrik

$d(x,y):=\Vert x-y\Vert$.

auf $V$. Mit dieser Metrik wird der Vektorraum zu einem metrischen Raum $(V,d)$. Eine Metrik kann nun verwendet werden, um eine ε-Umgebung um einen Vektor $x\in V$ durch

$U_{\epsilon }(x):=\{y\in V,d(x,y)<\epsilon \}$

zu definieren. Damit heißt dann eine Teilmenge $M\subset V$ offen, falls

$\mathrm{\forall }x\in M\mathrm{\exists }\epsilon >0:U_{\epsilon }(x)\subset M$

gilt. Über diese offenen Mengen induziert die Metrik nun auf $V$ eine Topologie

$𝒯:=\{M\subset V,M\text{offen}\}$.

Mit dieser Topologie wird der Vektorraum zu einem topologischen Vektorraum $(V,𝒯)$ und diese letztendlich von der Norm induzierte Topologie heißt Normtopologie.

Topologie-Axiome

Die Normtopologie ist tatsächlich eine Topologie, wie sich durch eine Überprüfung der drei Topologie-Axiome, die in der folgenden Form für alle metrischen Räume gültig ist, nachweisen lässt.

1. Die leere Menge und die Grundmenge sind offen:
   Die leere Menge ist offen, da es kein $x$ gibt, für das eine geeignete ε-Umgebung gefunden werden müsste. Die Grundmenge $V$ ist offen, da sie eine ε-Umgebung aller ihrer Elemente ist.
2. Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist offen:
   Seien die Mengen $M_1,\dots ,M_n$ mit $n\in \mathbb{N}$ offen. Dann existieren Schranken ${\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_n$ und ein $x$ aus dem Schnitt dieser Mengen, sodass $U_{{\epsilon }_i}(x)\subset M_i$ für $i=1,\dots ,n$ gilt. Wählt man nun $\epsilon =\min \{{\epsilon }_1,\dots ,{\epsilon }_n\}$, dann ist $U_{\epsilon }(x)\subset M_1\cap \dots \cap M_n$ und somit ist der Durchschnitt dieser Mengen offen.
3. Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist offen:
   Sei $I$ nun eine beliebige Indexmenge und seien die Mengen $M_i$ für $i\in I$ offen. Liegt $x$ in der Vereinigung dieser Mengen, dann gibt es einen Index $i\in I$ mit $x\in M_i$ und eine Schranke $\epsilon$, sodass $U_{\epsilon }(x)\subset M_i$ gilt. Daraus folgt dann $U_{\epsilon }(x)\subset \bigcup _{i\in I}{M}_i$ und somit ist die Vereinigung dieser Mengen offen.

Eigenschaften

• Die Normtopologie ist eine spezielle starke Topologie. Sie ist von der schwachen Topologie und der schwach-*-Topologie zu unterscheiden.
• Ein mit einer Normtopologie versehener topologischer Raum ist immer hausdorffsch, da zwei Vektoren $x,y\in V$ mit $x\ne y$ durch Umgebungen $U_{\epsilon }(x)$ und $U_{\epsilon }(y)$ mit $\epsilon =\frac{1}{2}d(x,y)$ voneinander getrennt werden.
• Nach dem Normierbarkeitskriterium von Kolmogoroff wird die Topologie eines hausdorffschen topologischen Vektorraums genau dann durch eine Norm erzeugt, wenn er eine beschränkte und konvexe Nullumgebung besitzt.

Literatur

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