Abelsche Von-Neumann-Algebra

Abelsche Von-Neumann-Algebren sind im mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis betrachtete Von-Neumann-Algebren, deren Multiplikation kommutativ ist.

Beispiele

• Die Algebra der Diagonalmatrizen auf dem endlichdimensionalen Hilbertraum ${ℂ}^n$ ist eine abelsche Von-Neumann-Algebra, die offenbar zur Algebra ${ℂ}^n$ mit der komponentenweisen Multiplikation isomorph ist. Die Unteralgebra der konstanten Vielfachen der Einheitsmatrix ist ebenfalls eine abelsche Von-Neumann-Algebra.
• Der Folgenraum ${\ell }^{\mathrm{\infty }}$ mit der komponentenweisen Multiplikation ist die unendlichdimensionale Verallgemeinerung des ersten Beispiels. Diese abelsche Von-Neumann-Algebra operiert auf dem Hilbertraum ${\ell }^2$.
• Ist $\lambda$ das Lebesguemaß auf dem Einheitsintervall [0,1], so definiert jede Funktion $f\in L^{\mathrm{\infty }}([0,1],\lambda )$ durch die Formel $M_f(\xi ):=f\cdot \xi$ einen stetigen linearen Operator $M_f:L^2([0,1],\lambda )\to L^2([0,1],\lambda )$. Die Algebra $\{M_f;f\in L^{\mathrm{\infty }}([0,1],\lambda )\}$ ist eine abelsche Von-Neumann-Algebra, die man einfach mit $L^{\mathrm{\infty }}[0,1]$ bezeichnet.

Abelsche Von-Neumann-Algebren als L^∞-Algebren

Das obige Beispiel der $L^{\mathrm{\infty }}$ ist bis auf Isomorphie bereits der allgemeinste Fall. Es gilt:

Ist $A$ eine abelsche Von-Neumann-Algebra über einem Hilbertraum $H$, so gibt es einen lokalkompakten Hausdorffraum $X$ und ein positives Maß $\mu$ auf $X$ mit Träger $X$, so dass $A$ isomorph zu $L^{\mathrm{\infty }}(X,\mu )$ ist. Isomorphie bedeutet dabei isometrische *-Isomorphie. Ist der Hilbertraum $H$ separabel, so kann man $X$ als kompakten, metrischen Raum wählen.

Ist umgekehrt $(X,\mu )$ ein Maßraum mit lokalkompaktem $X$, so definiert jede Funktion $f\in L^{\mathrm{\infty }}(X,\mu )$ durch die Formel $M_f(\xi ):=f\cdot \xi$ einen stetigen linearen Operator $M_f:L^2(X,\mu )\to L^2(X,\mu )$. Die Algebra $A=\{M_f;f\in L^{\mathrm{\infty }}(X,\mu )\}$ ist eine abelsche Von-Neumann-Algebra, die isomorph zu $L^{\mathrm{\infty }}(X,\mu )$ ist. $A$ ist maximal unter allen abelschen Von-Neumann-Algebren auf $L^2(X,\mu )$.

Abelsche Von-Neumann-Algebren auf separablen Hilberträumen

Die Isomorphisklassen der abelschen Von-Neumann-Algebren über einem separablen Hilbertraum lassen sich vollständig überblicken; beschränkt man sich auf maximale Von-Neumann-Algebren, so kann man Isomorphie sogar durch unitäre Äquivalenz ersetzen.

Es seien $A_n\subset L({ℂ}^n)$ die zu ${ℂ}^n$ und $A_{\mathrm{\infty }}$ die zu ${\ell }^{\mathrm{\infty }}$ isomorphe Von-Neumann-Algebren aus obigen Beispielen. Jede maximale abelsche Von-Neumann-Algebra über einem separablen Hilbertraum ist unitär äquivalent zu genau einer der Algebren

• $A_n,1\le n\le \mathrm{\infty }$
• $L^{\mathrm{\infty }}[0,1]$
• $A_n\oplus L^{\mathrm{\infty }}[0,1],1\le n\le \mathrm{\infty }$

Dabei heißen zwei Von-Neumann-Algebren $A$ über $H$ und $B$ über $K$ unitär äquivalent, falls es einen unitären Operator $u:H\to K$ gibt, so dass $a\mapsto ua{u}^{*}$ ein Isomorphismus $A\to B$ ist.

Abelsche Von-Neumann-Algebren als C*-Algebren

Abelsche Von-Neumann-Algebren sind insbesondere kommutative C*-Algebren und als solche nach dem Satz von Gelfand-Neumark isomorph zu einer Algebra $C(X)$ stetiger Funktionen auf einem kompakten Hausdorffraum. $X$ ist ein extremal unzusammenhängender Raum. Die Umkehrung gilt nicht, das heißt, es gibt extremal unzusammenhängende, kompakte Hausdorffräume $X$, so dass die Algebra $C(X)$ nicht isomorph zu einer Von-Neumann-Algebra ist.

Spektralsatz

Ist $a\in L(H)$ ein selbstadjungierter, beschränkter linearer Operator auf dem Hilbertraum $H$, so ist die von $a$ erzeugte Von-Neumann-Algebra abelsch und enthält sämtliche Spektralprojektionen von $a$. Abelsche Von-Neumann-Algebren sind daher ein natürlicher Rahmen zur Entwicklung der Spektraltheorie, was sich auch auf unbeschränkte selbstadjungierte Operatoren ausdehnen lässt. Dieses Programm wird konsequent in ausgeführt.

Siehe auch

• Abelsche Von-Neumann-Algebren sind Typ I Von-Neumann-Algebren.