Stetiger Funktionalkalkül

In der Mathematik, insbesondere in der Operatortheorie und der Theorie der C*-Algebren, ermöglicht der stetige Funktionalkalkül die Anwendung einer stetigen Funktion auf normale Elemente einer C*-Algebra.

In der fortgeschrittenen Theorie sind die Anwendungen dieses Funktionalkalküls so selbstverständlich, dass sie oft nicht einmal erwähnt werden. Man kann ohne Übertreibung sagen, dass der stetige Funktionalkalkül, den Unterschied zwischen C*-Algebren und allgemeinen Banachalgebren, in denen man lediglich einen holomorphen Funktionalkalkül hat, ausmacht.

Motivation

Will man den natürlichen Funktionalkalkül für Polynome auf dem Spektrum $\sigma (a)$ eines Elements $a$ einer Banachalgebra $𝒜$ zu einem Funktionalkalkül für stetige Funktionen $C(\sigma (a))$ auf dem Spektrum erweitern, so liegt es nahe, eine stetige Funktion gemäß dem Satz von Stone-Weierstraß durch Polynome zu approximieren, das Element in diese Polynome einzusetzen und zu zeigen, dass diese Folge von Elementen in $𝒜$ konvergiert. Die stetigen Funktionen auf $\sigma (a)\subset ℂ$ werden von Polynomen in $z$ und $\bar{z}$ approximiert, das heißt von Polynomen der Form Vorlage:Nowrap Dabei bezeichnet $\bar{z}$ die komplexe Konjugation, welche eine Involution auf den komplexen Zahlen ist. Damit man nun $a$ an Stelle von $z$ in ein solches Polynom einsetzen kann, betrachtet man Banach-*-Algebren, also Banachalgebren, die ebenfalls eine Involution * haben, und setzt $a^{*}$ an die Stelle von Vorlage:Nowrap Um einen Homomorphismus $ℂ[z,\bar{z}]\to 𝒜$ zu erhalten, muss man sich auf normale Elemente einschränken, also Elemente mit $a^{*}a=a{a}^{*}$, da der Polynomring $ℂ[z,\bar{z}]$ kommutativ ist. Ist nun $(p_n(z,\bar{z}){)}_n$ eine Folge von Polynomen, die auf $\sigma (a)$ gleichmäßig gegen eine stetige Funktion $f$ konvergiert, so ist noch die Konvergenz der Folge $(p_n(a,a^{*}){)}_n$ in $𝒜$ gegen ein Element $f(a)$ sicherzustellen. Eine eingehende Analyse dieses Konvergenzproblems zeigt, dass man sich auf C*-Algebren zurückziehen muss. Diese Überlegungen führen zum sogenannten stetigen Funktionalkalkül.

Der stetige Funktionalkalkül

Satz (Stetiger Funktionalkalkül).

Sei $a$ ein normales Element der C*-Algebra $𝒜$ mit Einselement $e$ und sei $C(\sigma (a))$ die kommutative C*-Algebra der stetigen Funktionen auf $\sigma (a)$, dem Spektrum von Vorlage:Nowrap Dann gibt es genau einen *-Homomorphismus ${\mathrm{\Phi }}_a:C(\sigma (a))\to 𝒜$ mit ${\mathrm{\Phi }}_a(1)=e$ für $1(z)=1$ und ${\mathrm{\Phi }}_a({\mathrm{Id}}_{\sigma (a)})=a$ für die Identität.

Die Abbildung ${\mathrm{\Phi }}_a$ heißt der stetige Funktionalkalkül zum normalen Element Vorlage:Nowrap Üblicherweise setzt man suggestiv Vorlage:Nowrap

Durch die *-Homomorphie-Eigenschaft gelten für alle Funktionen $f,g\in C(\sigma (a))$ und Skalare $\lambda ,\mu \in ℂ$ die folgenden Rechenregeln:

$(\lambda f+\mu g)(a)=\lambda f(a)+\mu g(a)$	(linear)
$(f\cdot g)(a)=f(a)\cdot g(a)$	(multiplikativ)
$\bar{f}(a)=:(f^{*})(a)=(f(a){)}^{*}$	(involutiv)

Man kann sich also vorstellen, die normalen Elemente tatsächlich in stetige Funktionen einzusetzen; die naheliegenden algebraischen Operationen verhalten sich wie erwartet.

Die Forderung nach einem Einselement ist keine wesentliche Einschränkung. Man kann nötigenfalls ein Einselement adjungieren und in der so vergrößerten C*-Algebra ${𝒜}_1$ arbeiten. Ist dann $a\in 𝒜$ und $f\in C(\sigma (a))$ mit $f(0)=0$, so gilt $0\in \sigma (a)$ und Vorlage:Nowrap

Die Existenz und die Eindeutigkeit des stetigen Funktionalkalküls beweist man getrennt:

• Existenz: Da das Spektrum von $a$ in der von $a$ und $e$ erzeugten C*-Unteralgebra $C^{*}(a,e)$ dasselbe ist, wie in $𝒜$ genügt es die Aussage für $𝒜=C^{*}(a,e)$ zu zeigen. Die eigentliche Konstruktion des stetigen Funktionalkalküls erfolgt anschließend unter Verwendung der Inversen Gelfand-Transformation.

• Eindeutigkeit: Da ${\mathrm{\Phi }}_a(1)$ und ${\mathrm{\Phi }}_a({\mathrm{Id}}_{\sigma (a)})$ festgelegt sind, ist ${\mathrm{\Phi }}_a$ bereits für alle Polynome $p(z,\bar{z})={\sum }_{k,l=0}^N{c}_{k,l}{z}^k\stackrel{l}{\stackrel{‾}{z}}(c_{k,l}\in ℂ)$ eindeutig festgelegt, da ${\mathrm{\Phi }}_a$ ein *-Homomorphismus ist. Diese bilden nach dem Satz von Stone-Weierstraß eine dichte Unteralgebra von Vorlage:Nowrap Damit ist ${\mathrm{\Phi }}_a$ insgesamt eindeutig.

In der Funktionalanalysis ist man häufig am stetigen Funktionalkalkül für einen normale Operatoren $T$ interessiert, das heißt an dem Fall, dass $𝒜$ die C*-Algebra $ℬ(H)$ der beschränkten Operatoren auf einem Hilbertraum $H$ ist. Häufig wird in der Literatur der stetige Funktionalkalkül in diesem Setting sogar nur für selbstadjungierte Operatoren bewiesen. Der Beweis kommt in diesem Fall ohne die Gelfand-Transformation Vorlage:Nowrap

Weitere Eigenschaften des stetigen Funktionalkalküls

Der stetige Funktionalkalkül ${\mathrm{\Phi }}_a$ ist ein isometrischer Isomorphismus auf die von $a$ und $e$ erzeugte C*-Unteralgebra $C^{*}(a,e)$, das heißt:

• $\Vert {\mathrm{\Phi }}_a(f)\Vert ={\Vert f\Vert }_{\sigma (a)}$ für alle $f\in C(\sigma (a))$; ${\mathrm{\Phi }}_a$ ist somit stetig.
• ${\mathrm{\Phi }}_a(C(\sigma (a)))=C^{*}(a,e)\subseteq 𝒜$

Da $a$ ein normales Element von $𝒜$ ist, ist die von $a$ und $e$ erzeugte C*-Unteralgebra kommutativ. Insbesondere ist $f(a)$ normal und alle Elemente eines Funktionalkalküls kommutieren.

Der holomorphe Funktionalkalkül wird vom stetigen Funktionalkalkül in eindeutiger Weise Vorlage:Nowrap Daher stimmt für Polynome $p(z,\bar{z})$ der stetige Funktionalkalkül mit dem natürlichen Funktionalkalkül für Polynome überein: ${\mathrm{\Phi }}_a(p(z,\bar{z}))=p(a,a^{*})={\sum }_{k,l=0}^N{c}_{k,l}{a}^k(a^{*}{)}^l$ für alle $p(z,\bar{z})={\sum }_{k,l=0}^N{c}_{k,l}{z}^k\stackrel{l}{\stackrel{‾}{z}}$ mit Vorlage:Nowrap

Für eine Folge von Funktionen $f_n\in C(\sigma (a))$, die auf $\sigma (a)$ gleichmäßig gegen eine Funktion $f\in C(\sigma (a))$ konvergiert, konvergiert Vorlage:Nowrap Für eine Potenzreihe $f(z)={\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{z}^n$, die auf $\sigma (a)$ absolut gleichmäßig konvergiert, gilt daher Vorlage:Nowrap

Sind $f\in 𝒞(\sigma (a))$ und $g\in 𝒞(\sigma (f(a)))$, so gilt für deren Komposition Vorlage:Nowrap Sind $a,b\in {𝒜}_N$ zwei normale Elemente mit $f(a)=f(b)$ und ist $g$ sowohl auf $\sigma (a)$ als auch $\sigma (b)$ die Umkehrfunktion von $f$, so ist bereits $a=b$, da Vorlage:Nowrap

Es gilt der spektrale Abbildungssatz: $\sigma (f(a))=f(\sigma (a))$ für alle Vorlage:Nowrap

Gilt $ab=ba$ für $b\in 𝒜$, so gilt auch $f(a)b=bf(a)$ für alle $f\in C(\sigma (a))$, das heißt wenn $b$ mit $a$ kommutiert, dann auch mit den zugehörigen Elementen des stetigen Funktionalkalküls Vorlage:Nowrap

Sei $\mathrm{\Psi }:𝒜\to ℬ$ ein unitärer *-Homomorphismus zwischen C*-Algebren $𝒜$ und Vorlage:Nowrap Dann kommutiert $\mathrm{\Psi }$ mit dem stetigen Funktionalkalkül. Es gilt: $\mathrm{\Psi }(f(a))=f(\mathrm{\Psi }(a))$ für alle Vorlage:Nowrap Insbesondere kommutiert der stetige Funktionalkalkül mit der Gelfand-Transformation.

Mit dem spektralen Abbildungssatz lassen sich Funktionen mit bestimmten Eigenschaften direkt mit bestimmten Eigenschaften von Elementen von C*-Algebren in Verbindung bringen:

• $f(a)$ ist genau dann invertierbar, wenn $f$ auf $\sigma (a)$ keine Nullstelle Vorlage:Nowrap Dann ist Vorlage:Nowrap
• $f(a)$ ist genau dann selbstadjungiert, wenn $f$ reellwertig, also $f(\sigma (a))\subseteq ℝ$ ist.
• $f(a)$ ist genau dann positiv ($f(a)\ge 0$), wenn $f\ge 0$, also $f(\sigma (a))\subseteq [0,\mathrm{\infty })$ ist.
• $f(a)$ ist genau dann unitär, wenn alle Werte von $f$ in der Kreisgruppe liegen, also $f(\sigma (a))\subseteq 𝕋=\{\lambda \in ℂ\mid \Vert \lambda \Vert =1\}$ ist.
• $f(a)$ ist genau dann eine Projektion, wenn $f$ nur die Werte $0$ und $1$ annimmt, also $f(\sigma (a))\subseteq \{0,1\}$ ist.

Diese gehen auf Aussagen über das Spektrum bestimmter Elemente zurück, welche im Abschnitt Anwendungen dargestellt sind.

Im speziellen Fall, dass $𝒜$ die C*-Algebra der beschränkten Operatoren $ℬ(H)$ für einen Hilbertraum $H$ ist, sind Eigenvektoren $v\in H$ zum Eigenwert $\lambda \in \sigma (T)$ eines normalen Operators $T\in ℬ(H)$ auch Eigenvektoren zum Eigenwert $f(\lambda )\in \sigma (f(T))$ des Operators Vorlage:Nowrap Gilt also $Tv=\lambda v$, so gilt auch $f(T)v=f(\lambda )v$ für alle Vorlage:Nowrap

Anwendungen

Die folgenden Anwendungen sind typische und sehr einfache Beispiele der zahlreichen Anwendungen des stetigen Funktionalkalküls:

Spektrum

Sei $𝒜$ eine C*-Algebra und $a\in {𝒜}_N$ ein normales Element. Dann gilt für das Spektrum $\sigma (a)$:

• $a$ ist genau dann selbstadjungiert, wenn Vorlage:Nowrap
• $a$ ist genau dann unitär, wenn Vorlage:Nowrap
• $a$ ist genau dann eine Projektion, wenn Vorlage:Nowrap

Beweis. Der stetige Funktionalkalkül ${\mathrm{\Phi }}_a$ zum normalen Element $a\in 𝒜$ ist ein *-Homomorphismus mit ${\mathrm{\Phi }}_a(\mathrm{Id})=a$ und somit ist $a$ selbstadjungiert/unitär/eine Projektion, wenn $\mathrm{Id}\in C(\sigma (a))$ ebenfalls selbstadjungiert/unitär/eine Projektion ist. Genau dann ist $\mathrm{Id}$ selbstadjungiert, wenn $z=\text{Id}(z)=\overline{\text{Id}}(z)=\bar{z}$ für alle $z\in \sigma (a)$ gilt, also wenn $\sigma (a)$ reell ist. Genau dann ist $\text{Id}$ unitär, wenn $1=\text{Id}(z)\overline{\mathrm{Id}}(z)=z\bar{z}=|z{|}^2$ für alle $z\in \sigma (a)$ gilt, also Vorlage:Nowrap Genau dann ist $\text{Id}$ eine Projektion, wenn $(\mathrm{Id}(z){)}^2=\mathrm{Id}(z)=\overline{\mathrm{Id}(z)}$, d. h. $z^2=z=\bar{z}$ für alle $z\in \sigma (a)$, also Vorlage:Nowrap

Wurzeln

Sei $a$ ein positives Element einer C*-Algebra Vorlage:Nowrap Dann existiert für jedes $n\in \mathbb{N}$ ein eindeutig bestimmtes positives Element $b\in {𝒜}_{+}$ mit $b^n=a$, das heißt eine eindeutige $n$-te Wurzel.

Beweis. Für jedes $n\in \mathbb{N}$ ist die Wurzelfunktion $f_n:{ℝ}_0^{+}\to {ℝ}_0^{+},x\mapsto \sqrt[n]{x}$ eine stetige Funktion auf Vorlage:Nowrap Sei $b:=f_n(a)$ mittels stetigem Funktionalkalkül definiert, dann folgt aus den Eigenschaften des Kalküls Vorlage:Nowrap Aus dem spektralen Abbildungssatz folgt $\sigma (b)=\sigma (f_n(a))=f_n(\sigma (a))\subseteq [0,\mathrm{\infty })$, das heißt $b$ ist positiv. Sei $c\in {𝒜}_{+}$ ein weiteres positives Element mit $c^n=a=b^n$, so gilt $c=f_n(c^n)=f_n(b^n)=b$, da die Wurzelfunktion auf den positiven reellen Zahlen eine Umkehrfunktion zur Funktion $z\mapsto z^n$ ist.

Ist $a\in {𝒜}_{sa}$ ein selbstadjungiertes Element, dann existiert zumindest für jedes ungerade $n\in \mathbb{N}$ ein eindeutig bestimmtes selbstadjungiertes Element $b\in {𝒜}_{sa}$ mit Vorlage:Nowrap

Ebenso definiert für ein positives Element $a$ einer C*-Algebra $𝒜$ jedes $\alpha \ge 0$ ein eindeutig bestimmtes positives Element $a^{\alpha }$ von $C^{*}(a)$, sodass $a^{\alpha }{a}^{\beta }=a^{\alpha +\beta }$ für alle $\alpha ,\beta \ge 0$ gilt. Falls $a$ invertierbar ist, lässt sich dies auch auf negative Werte von $\alpha$ fortsetzen.

Betrag

Sei $a\in 𝒜$, dann ist das Element $a^{*}a$ positiv, sodass der Betrag durch den stetigen Funktionalkalkül definiert werden kann $|a|=\sqrt{a^{*}a}$, da dieser auf den positiven reellen Zahlen stetig Vorlage:Nowrap

Sei $a$ ein selbstadjungiertes Element einer C*-Algebra $𝒜$, dann existieren positive Elemente $a_{+},a_{-}\in {𝒜}_{+}$, sodass $a=a_{+}-a_{-}$ mit $a_{+}{a}_{-}=a_{-}{a}_{+}=0$ gilt. Man bezeichnet $a_{+}$ und $a_{-}$ auch als Positiv- und Negativteil. Darüber hinaus gilt Vorlage:Nowrap

Beweis. Die Funktionen $f_{+}(z)=\max (z,0)$ und $f_{-}(z)=-\min (z,0)$ sind stetige Funktionen auf $\sigma (a)\subseteq ℝ$ mit $\mathrm{Id}(z)=z=f_{+}(z)-f_{-}(z)$ und Vorlage:Nowrap Setze $a_{+}=f_{+}(a)$ und Vorlage:Nowrap Nach dem spektralen Abbildungssatz sind $a_{+}$ und $a_{-}$ positive Elemente und es gilt $a=\mathrm{Id}(a)=(f_{+}-f_{-})(a)=f_{+}(a)-f_{-}(a)=a_{+}-a_{-}$ und Vorlage:Nowrap Weiterhin gilt $f_{+}(z)+f_{-}(z)=|z|=\sqrt{z^{*}z}=\sqrt{z^2}$, sodass $a_{+}+a_{-}=f_{+}(a)+f_{-}(a)=|a|=\sqrt{a^{*}a}=\sqrt{a^2}$ gilt.

Unitäre Elemente

Ist $a$ ein selbstadjungiertes Element einer C*-Algebra $𝒜$ mit Einselement $e$, so ist $u={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}a}$ unitär, wobei $\mathrm{i}$ die imaginäre Einheit bezeichnet. Ist umgekehrt $u\in {𝒜}_U$ ein unitäres Element, mit der Einschränkung, dass das Spektrum eine echte Teilmenge des Einheitskreises ist, also $\sigma (u)⊊𝕋$, so existiert ein selbstadjungiertes Element $a\in {𝒜}_{sa}$ mit Vorlage:Nowrap

Beweis. Es ist $u=f(a)$ mit $f:ℝ\to ℂ,x\mapsto {\mathrm{e}}^{\mathrm{i}x}$, denn da $a$ selbstadjungiert ist, folgt $\sigma (a)\subset ℝ$, das heißt $f$ ist eine Funktion auf dem Spektrum von Vorlage:Nowrap Da $f\cdot \bar{f}=\bar{f}\cdot f=1$ folgt mittels Funktionalkalkül $u{u}^{*}=u^{*}u=e$, das heißt $u$ ist unitär. Da für die andere Aussage ein $z_0\in 𝕋$ existiert, sodass $\sigma (u)\subseteq \{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z}\mid z_0\le z\le z_0+2\pi \}$ ist die Funktion $f({\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z})=z$ für $z_0\le z\le z_0+2\pi$ eine reellwertige stetige Funktion auf dem Spektrum $\sigma (u)$, sodass $a=f(u)$ ein selbstadjungiertes Element ist, das ${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}a}={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}f(u)}=u$ erfüllt.

Spektraler Zerlegungssatz

Sei $𝒜$ eine unitäre C*-Algebra und $a\in {𝒜}_N$ ein normales Element. Das Spektrum bestehe aus $n$ paarweise disjunkten abgeschlossenen Teilmengen ${\sigma }_k\subset ℂ$ für alle $1\le k\le n$, also Vorlage:Nowrap Dann existieren Projektionen $p_1,\dots ,p_n\in 𝒜$, die für alle $1\le j,k\le n$ die folgenden Eigenschaften Vorlage:Nowrap

• Für das Spektrum gilt Vorlage:Nowrap
• Die Projektionen kommutieren mit Vorlage:Nowrap
• Die Projektionen sind orthogonal, also Vorlage:Nowrap
• Die Summe der Projektionen ist das Einselement, also Vorlage:Nowrap

Insbesondere existiert eine Zerlegung $a={\sum }_{k=1}^n{a}_k$ für die $\sigma (a_k)={\sigma }_k$ für alle $1\le k\le n$ gilt.

Beweis. Da die ${\sigma }_k$ alle abgeschlossen sind, sind die charakteristischen Funktionen ${\chi }_{{\sigma }_k}$ stetig auf Vorlage:Nowrap Sei nun $p_k:={\chi }_{{\sigma }_k}(a)$ mithilfe des stetigen Funktionalkalküls definiert. Da die ${\sigma }_k$ paarweise disjunkt sind gilt ${\chi }_{{\sigma }_j}{\chi }_{{\sigma }_k}={\delta }_{jk}{\chi }_{{\sigma }_k}$ und ${\sum }_{k=1}^n{\chi }_{{\sigma }_k}={\chi }_{{\cup }_{k=1}^n{\sigma }_k}={\chi }_{\sigma (a)}=\mathbf{\text{1}}$ und somit erfüllen die $p_k$ die geforderten Eigenschaften, wie sich wiederum aus den Eigenschaften des stetigen Funktionalkalküls ergibt. Für die letzte Aussage setzt man Vorlage:Nowrap

Literatur

• Jacques Dixmier: Les C*-algèbres et leurs représentations. Gauthier-Villars, Paris, 1969.
• Jacques Dixmier: C*-algebras. Aus dem Französischen von Francis Jellett. North-Holland, Amsterdam/New York/Oxford 1977, ISBN 0-7204-0762-1.
• Richard V. Kadison, John R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras. Volume 1 Elementary Theory. Academic Press, New York/London 1983, ISBN 0-12-393301-3.
• Masamichi Takesaki: Theory of Operator Algebras I. Springer, Heidelberg/Berlin, 1979, ISBN 3-540-90391-7.