disjunkt

Zwei disjunkte Mengen

In der Mengenlehre heißen zwei Mengen $A$ und $B$ disjunkt (Vorlage:LaS ‚getrennt‘), elementfremd oder durchschnittsfremd, wenn sie kein gemeinsames Element besitzen. Mehrere Mengen heißen paarweise disjunkt, wenn beliebige zwei von ihnen disjunkt sind.

Definitionen

Ein disjunktes Mengensystem

Zwei Mengen $A$ und $B$ sind disjunkt, wenn ihre Schnittmenge leer ist, wenn also gilt:

$A\cap B=\mathrm{\varnothing }$.

Eine Familie von Mengen $(M_i{)}_{i\in I}$ ist eine disjunkte Mengenfamilie, wenn ihre Elemente paarweise disjunkt sind, wenn also gilt:

$M_i\cap M_j=\mathrm{\varnothing }$ für $i\ne j$ und $i,j\in I$.

Dies lässt sich auch ohne Rückgriff auf Negationen formulieren:

$i=j$ für alle $i,j\in I$ und $x\in M_i\cap M_j$.

Die Vereinigung $M$ einer disjunkten Mengenfamilie nennt man disjunkte Vereinigung und schreibt sie als

$M=\dot{\bigcup _{i\in I}}{M}_i$.

Sind außerdem alle Mengen der Familie nichtleer, liegt eine Partition von $M$ vor.

Die Begriffe werden auch analog für Mengensysteme (anstelle von Mengenfamilien) verwendet.

Beispiele

• Die Mengen $A=\{1,2,3\}$ und $B=\{7,8,11\}$ sind disjunkt, weil sie kein gemeinsames Element haben.
• Die Mengen $A=\{1,2,7\}$ und $B=\{6,7,8,11\}$ sind nicht disjunkt, da sie das Element $7$ gemeinsam haben.
• Die drei Mengen $A=\{1,2,3\}$, $B=\{4,5\}$ und $C=\{5,6,7\}$ sind nicht paarweise disjunkt, da zumindest eine der drei möglichen Schnittmengen (nämlich $B\cap C$) nicht leer ist.
• Die folgende Aufzählung definierte eine (unendliche) disjunkte Mengenfamilie, die eine Partition der ganzen Zahlen darstellt: $\{0\},\{1,-1\},\{2,-2\},\{3,-3\},\{4,-4\},\dots$.
• Zwei verschiedene Geraden $g$ und $h$ in der euklidischen Ebene sind genau dann disjunkt, wenn sie parallel sind. Die Gesamtheit aller Parallelen zu einer gegebenen Geraden $g$ bildet eine Partition der Ebene.

Weitere Beispiele:

• 
  Die Menge mit der Spielkarte und dem Buch ist disjunkt zur Menge mit der Gitarre und der Trommel.
• 
  Ein paarweise disjunktes Mengensystem
• 
  Ein nicht paarweise disjunktes Mengensystem

Anwendung

Bei der Fragebogenkonstruktion müssen Fragen so formuliert werden, dass die Antwortmöglichkeiten (Begriffsbeziehungen) disjunkt und erschöpfend sind.

Beispiel für nicht-disjunkte Antwortmöglichkeiten: Wie viel verdienen Sie?

1. 0 bis 1000 Euro
2. 500 und mehr Euro.

Personen mit einem Verdienst zwischen 500 und 1000 Euro wissen nicht, welche Antwortmöglichkeit sie wählen sollen.

Eigenschaften

• Die leere Menge $\mathrm{\varnothing }$ ist disjunkt zu jeder beliebigen Menge.
• $\{a\}$ und $B$ sind genau dann disjunkt, wenn $a\notin B$.
• Die Mächtigkeit einer endlichen disjunkten Vereinigung endlicher Mengen ist gleich der Summe der Einzelmächtigkeiten. Für nicht-disjunkte Vereinigungen gilt die Siebformel.
• Einelementige Mengensysteme sind immer paarweise disjunkt.
• Das leere Mengensystem ist paarweise disjunkt

Siehe auch

• Lineare Disjunktheit, ein Begriff der abstrakten Algebra im Zusammenhang mit Körpererweiterungen, der mit der hier betrachteten Disjunktheit nur gemeinsam hat, dass die Schnittmenge linear disjunkter Körper kleinstmöglich ist.