Normales Element

In der Mathematik nennt man ein Element einer *-Algebra normal, wenn es mit seinem Adjungierten kommutiert.

Definition

Sei $𝒜$ eine *-Algebra, so heißt ein Element $a\in 𝒜$ normal, falls es mit $a^{*}$ kommutiert, also die Gleichung $a{a}^{*}=a^{*}a$ erfüllt.

Die Menge der normalen Elemente wird mit ${𝒜}_N$ oder $N(𝒜)$ bezeichnet.

Besonders interessant ist der Fall, bei dem $𝒜$ eine vollständige normierte *-Algebra ist, die die C*-Eigenschaft ($\Vert a^{*}a\Vert ={\Vert a\Vert }^2\mathrm{\forall }a\in 𝒜$) erfüllt, eine sogenannte C*-Algebra.

Beispiele

• Jedes selbstadjungierte Element einer *-Algebra ist normal.
• Jedes unitäre Element einer *-Algebra ist normal.
• Ist $𝒜$ eine C*-Algebra und $a\in {𝒜}_N$ ein normales Element, so erhält man aus dem stetigen Funktionalkalkül für stetige Funktionen $f$ auf dem Spektrum weitere normale Elemente Vorlage:Nowrap

Kriterien

Sei $𝒜$ eine *-Algebra. Dann gilt:

• Ein Element $a\in 𝒜$ ist genau dann normal, wenn die von $a$ erzeugte *-Unteralgebra, d. h. die kleinste *-Unteralgebra, die $a$ enthält, kommutativ ist.
• Jedes Element $a\in 𝒜$ lässt sich eindeutig in Real- und Imaginärteil zerlegen, das heißt es existieren selbstadjungierte Elemente $a_1,a_2\in {𝒜}_{sa}$, sodass $a=a_1+\mathrm{i}{a}_2$, wobei $\mathrm{i}$ die imaginäre Einheit bezeichnet. Genau dann ist $a$ normal, wenn $a_1{a}_2=a_2{a}_1$ gilt, das heißt, wenn Real- und Imaginärteil kommutieren.

Eigenschaften

In *-Algebren

Sei $a\in {𝒜}_N$ ein normales Element einer *-Algebra Vorlage:Nowrap Dann gilt:

• Das adjungierte Element $a^{*}$ ist ebenfalls normal, da $a=(a^{*}{)}^{*}$ für die Involution * gilt.

In C*-Algebren

Sei $a\in {𝒜}_N$ ein normales Element einer C*-Algebra Vorlage:Nowrap Dann gilt:

• Es ist $\Vert a^2\Vert ={\Vert a\Vert }^2$, da für normale Elemente mit der C*-Eigenschaft ${\Vert a^2\Vert }^2=\Vert (a^2)(a^2{)}^{*}\Vert =\Vert (a^{*}a{)}^{*}(a^{*}a)\Vert ={\Vert a^{*}a\Vert }^2={\left({\Vert a\Vert }^2\right)}^2$ gilt.
• Jedes normale Element ist ein normaloides Element, das heißt, der Spektralradius $r(a)$ ist gerade die Norm von $a$, also Vorlage:Nowrap Dies folgt aus der Spektralradiusformel durch wiederholtes Anwenden der vorherigen Eigenschaft.
• Es lässt sich ein stetiger Funktionalkalkül entwickeln, der es – vereinfacht gesagt – ermöglicht, $a$ in stetige Funktionen auf dem Spektrum von $a$ einzusetzen.

Siehe auch

• Normale Matrix
• Normaler Operator

Literatur

• Jacques Dixmier: C*-algebras. Aus dem Französischen von Francis Jellett. North-Holland, Amsterdam/New York/Oxford 1977, ISBN 0-7204-0762-1.
• Dirk Werner: Funktionalanalysis. 8. Auflage. Springer, 2018, ISBN 978-3-662-55407-4.