Gelfand-Transformation

Die Gelfand-Transformation (nach Israel Gelfand) ist das wichtigste Instrument in der Theorie der kommutativen Banach-Algebren. Sie bildet eine kommutative $ℂ$-Banachalgebra A in eine Algebra stetiger Funktionen ab. Jedem $a$ aus $A$ wird eine stetige Funktion $\hat{a}:X\to ℂ$ zugeordnet, wobei $X$ ein geeigneter lokalkompakter Hausdorff-Raum ist. Die Zuordnung $a\mapsto \hat{a}$ ist dabei ein stetiger Algebren-Homomorphismus.

Motivation, Gelfand-Raum

Betrachtet man eine kommutative $ℂ$-Banachalgebra $A$ nur als normierten Raum mit Dualraum $A^{\prime }$ und Bidualraum $A^{″}=(A^{\prime }{)}^{\prime }$, so lassen sich die Elemente von $A$ folgendermaßen auf stetige Funktionen abbilden: Man ordne jedem $a$ die Funktion $\hat{a}:A^{\prime }\to ℂ,\hat{a}(\phi ):=\phi (a)$ zu. Dabei handelt es sich um die bekannte isometrische Einbettung von $A$ in den Bidualraum, denn jedes $\hat{a}$ ist ein Element aus $A^{″}$. Jedes $\hat{a}$ ist auch stetig. Dabei erweist sich die Normtopologie als unnötig stark. Aus diesem Grunde betrachtet man auf $A^{\prime }$ die schwach-*-Topologie, diese ist gerade definiert als die gröbste Topologie, die alle Abbildungen $\hat{a}$ stetig macht.

Wenden wir uns wieder der Algebra $A$ zu, so müssen wir feststellen, dass die Zuordnung $a\mapsto \hat{a}$ kein Homomorphismus ist; sie ist nicht multiplikativ, d. h. es gilt nicht $\widehat{ab}=\hat{a}\hat{b}$. Dazu müsste nämlich $\widehat{ab}(\phi )=\hat{a}(\phi )\hat{b}(\phi )$ und damit $\phi (ab)=\phi (a)\phi (b)$ für alle $\phi \in A^{\prime }$ gelten, aber ein lineares Funktional ist in der Regel nicht multiplikativ. Diese Beobachtung gibt aber einen Hinweis, wie man einen Homomorphismus der gewünschten Art konstruieren kann. Man verwendet statt ganz $A^{\prime }$ nur die multiplikativen Funktionale in $A^{\prime }$, und genau das ist die Gelfand-Transformation.

Wir setzen daher $X_A:=\{\phi \in A^{\prime };\phi \text{multiplikativ},\phi =0\}$. Diese Menge nennt man das Spektrum (Gelfand-Spektrum) von $A$ oder auch den Gelfand-Raum von $A$. Man beachte, dass der Nullhomomorphismus herausgenommen wurde. Es gibt Banach-Algebren mit leerem Spektrum, z. B. eine Banachalgebra $A$ mit der Nullmultiplikation, d. h. $a\cdot b=0$ für alle $a,b\in A$. Ist aber $X_A=\mathrm{\varnothing }$, so kann man zeigen, dass $X_A$ mit der relativen schwach-*-Topologie ein lokalkompakter Hausdorff-Raum ist. Nach obigen Ausführungen ist

$𝒢:A\to C_0(X_A),a\mapsto \hat{a},\hat{a}(\phi )=\phi (a)$

ein stetiger Homomorphismus mit Norm $\le 1$. $C_0(X_A)$ ist dabei die Algebra der stetigen, komplexwertigen Funktionen auf $X_A$, die im Unendlichen verschwinden. Dieser Homomorphismus heißt Gelfand-Transformation, $\hat{a}$ nennt man die Gelfand-Transformierte von $a$.

Beispiel C₀(Z)

Sei Z ein lokalkompakter Hausdorffraum und $A=C_0(Z)$, so ist A bereits eine Algebra von der Art, auf die die Gelfand-Transformation abbildet. Um die Gelfand-Transformation für diesen Fall zu bestimmen, müssen wir uns einen Überblick über die multiplikativen Funktionale auf $A$ verschaffen. Ist $z\in Z$, so ist die Punktauswertung ${\delta }_z:A\to ℂ,{\delta }_z(f):=f(z)$ offenbar ein multiplikatives Funktional, und man kann zeigen, dass dies bereits alle sind, d. h., dass $X_A=\{{\delta }_z;z\in Z\}$ gilt. Z kann also mittels der Abbildung $z\mapsto {\delta }_z$ mit $X_A$ identifiziert werden, zumindest als Menge. Man kann zeigen, dass diese Abbildung sogar ein Homöomorphismus ist, so dass man Z und $X_A$ auch als topologische Räume identifizieren kann. In diesem Fall ist also $𝒢:A\to C_0(X_A)=C_0(Z)$ nichts weiter als die Identität. Für $A=C_0(Z)$ bietet die Gelfand-Transformation nichts Neues.

Beispiel L¹(ℝ)

Der Banachraum $A=L^1(ℝ)$ ist mit der Faltung als Multiplikation und der 1-Norm eine kommutative $ℂ$-Banachalgebra. Für $f,g\in L^1(ℝ)$ gilt dabei

$f*g(t):=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(s)g(t-s)\mathrm{d}s$

$\Vert f{\Vert }_1=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|f(s)|\mathrm{d}s$

Wie sehen die multiplikativen Funktionale auf $A$ aus? Die Punktauswertungen des $C_0(Z)$-Beispiels kommen nicht in Frage, denn für $L^1$-Funktionen ist der Funktionswert an einer Stelle gar nicht definiert. Man kann zeigen, dass für $z\in ℝ$ durch

${\phi }_z(f):=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)e^{-itz}\mathrm{d}t$

ein multiplikatives Funktional auf $A=L^1(ℝ)$ erklärt ist, und dass umgekehrt jedes multiplikative Funktional von dieser Form ist. Es gilt also $X_A=\{{\phi }_z;z\in ℝ\}$ und man kann weiter zeigen, dass die Abbildung $z\mapsto {\phi }_z$ ein Homöomorphismus von $ℝ$ auf $X_A$ ist. Identifiziert man daher $ℝ$ und $X_A$ mittels dieser Abbildung, so hat die Gelfand-Transformation die Gestalt:

$𝒢:L^1(ℝ)\to C_0(ℝ),f\mapsto \hat{f},\hat{f}(z)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(t)e^{-itz}\mathrm{d}t$.

Die Gelfand-Transformation erweist sich damit als eine Abstraktion der Fourier-Transformation.

Beispiel 'holomorphe Fortsetzung'

Es sei $Z$ die Kreislinie $\{z\in ℂ;|z|=1\}$. Dann ist $C_0(Z)$ eine kommutative Banachalgebra mit 1. Sei $A$ die Diskalgebra, das heißt die Unteralgebra aller Funktionen, die eine holomorphe Fortsetzung ins Innere $\{z\in ℂ;|z|<1\}$ besitzen. Mit ein wenig Funktionentheorie (Maximumprinzip) zeigt man, dass $A$ eine Unter-Banachalgebra von $C_0(Z)$ ist. Wie sehen die multiplikativen Funktionale auf $A$ aus? Zunächst sind die Punktauswertungen ${\delta }_z,|z|=1$, die ja schon multiplikative Funktionale auf $C_0(Z)$ sind, natürlich auch multiplikative Funktionale auf $A$. Es gibt aber weitere. Da die holomorphe Fortsetzung einer Funktion ins Innere eindeutig ist, sind auch alle Punktauswertungen ${\delta }_z,|z|<1$, multiplikative Funktionale auf $A$. Man zeigt, dass $X_A=\{{\delta }_z;|z|\le 1\}$ und dass man $X_A$ mittels $z\mapsto {\delta }_z$ auch topologisch mit der Kreisfläche $K=\{z\in ℂ;|z|\le 1\}$ identifizieren kann. In diesem Beispiel ist daher

$𝒢:A\to C_0(K),f\mapsto \hat{f},\hat{f}=$ holomorphe Fortsetzung von $f$,

d. h. die Gelfand-Transformation spielt hier die Rolle eines Fortsetzungsoperators.

Bedeutung

Ist $A$ eine kommutative C*-Algebra, so ist die Gelfand-Transformation der isometrische Isomorphismus aus dem Satz von Gelfand-Neumark für kommutative C*-Algebren. Das ist der Ausgangspunkt der Spektraltheorie.

Das $L^1(ℝ)$-Beispiel verallgemeinert sich auf lokalkompakte, abelsche Gruppen $G$. Der Gelfand-Raum von $L^1(G)$ wird mit $\hat{G}$ bezeichnet und kann wieder mit einer Gruppenstruktur versehen werden. Man nennt $\hat{G}$ dann die Dualgruppe von $G$. Das ist ein Ausgangspunkt der abstrakten harmonischen Analyse.

Die Stone-Čech-Kompaktifizierung eines vollständig regulären Hausdorffraums $X$ kann als Anwendung der Gelfand-Transformation auf die kommutative C*-Algebra $C_b(X)$ der stetigen und beschränkten Funktionen auf $X$ erhalten werden.

Der Kern der Gelfand-Transformation ist im Falle einer kommutativen Banachalgebra das Jacobson-Radikal, insbesondere ist das Jacobson-Radikal stets abgeschlossen. Hier zeigt sich wieder, wie algebraische und topologische Begriffe in der Theorie der Banachalgebren ineinandergreifen.

Literatur

• R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, 1983
• M. Takesaki: Theory of Operator Algebras I (Springer 1979, 2002)