Unitäres Element

In der Mathematik nennt man ein Element einer *-Algebra unitär, wenn es invertierbar ist und das adjungierte Element und das inverse Element dasselbe sind.

Definition

Sei $𝒜$ eine *-Algebra mit Einselement $e$, so heißt ein Element $a\in 𝒜$ unitär, falls $a{a}^{*}=a^{*}a=e$, also wenn $a$ invertierbar ist und $a^{-1}=a^{*}$ gilt.

Die Menge der unitären Elemente wird mit ${𝒜}_U$ oder $U(𝒜)$ bezeichnet.

Besonders interessant ist der Fall, bei dem $𝒜$ eine vollständige normierte *-Algebra ist, die die C*-Eigenschaft ($\Vert a^{*}a\Vert ={\Vert a\Vert }^2\mathrm{\forall }a\in 𝒜$) erfüllt, eine sogenannte C*-Algebra.

Kriterien

• Sei $𝒜$ eine unitäre C*-Algebra und $a\in {𝒜}_N$ ein normales Element. Genau dann ist $a$ unitär, wenn das Spektrum $\sigma (a)$ nur aus Elementen der Kreisgruppe $𝕋$ besteht, das heißt Vorlage:Nowrap

Beispiele

• Trivialerweise ist das Einselement $e$ unitär.

• Sei $𝒜$ eine unitäre C*-Algebra. Ist $a\in {𝒜}_N$ ein normales Element einer C*-Algebra $𝒜$, dann definiert jede auf dem Spektrum $\sigma (a)$ stetige Funktion $f$, mittels stetigem Funktionalkalkül ein unitäres Element $f(a)$, falls Vorlage:Nowrap

Eigenschaften

Sei $𝒜$ eine unitäre *-Algebra und Vorlage:Nowrap Dann gilt:

• Das Element $ab$ ist unitär, da Vorlage:Nowrap Insbesondere bildet ${𝒜}_U$ eine multiplikative Gruppe.
• Das Element $a$ ist normal.
• Das adjungierte Element $a^{*}$ ist ebenfalls unitär, da $a=(a^{*}{)}^{*}$ für die Involution * gilt.
• Wenn $𝒜$ eine C*-Algebra ist, hat $a$ Norm 1, also Vorlage:Nowrap

Siehe auch

• Unitäre Matrix
• Unitärer Operator

Literatur

• Jacques Dixmier: C*-algebras. Aus dem Französischen von Francis Jellett. North-Holland, Amsterdam/New York/Oxford 1977, ISBN 0-7204-0762-1.
• Richard V. Kadison, John R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras. Volume 1 Elementary Theory. Academic Press, New York/London 1983, ISBN 0-12-393301-3.