Kubischer Zahlkörper

In der algebraischen Zahlentheorie versteht man unter einem kubischen Zahlkörper $K$ einen algebraischen Zahlkörper, also eine Erweiterung des Körpers $\mathbb{Q}$ der rationalen Zahlen, vom Grad $[K:\mathbb{Q}]=3$. Kubische Zahlkörper sind nach den quadratischen Zahlkörpern $k=\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ und den Kreisteilungskörpern $\mathbb{Q}(\exp (2\pi \sqrt{-1}/n))$ die einfachsten Zahlkörper. Sie sind aber im Gegensatz zu den letzteren nicht notwendigerweise selbst-konjugiert (normal, Galoissch), sondern können auch als Familien $(K,K^{\prime },K^{\prime \prime })$ von je drei konjugierten Körpern auftreten. Nur die zyklischen kubischen Zahlkörper $K$ sind selbst-konjugiert und besitzen eine Galoisgruppe $\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{l}(K/\mathbb{Q})=⟨\sigma \mid {\sigma }^3=1⟩$ mit einem einzigen erzeugenden Automorphismus $\sigma$ der Ordnung $3$. Alle anderen kubischen Körper $K$ können durch Komposition mit einem geeigneten quadratischen Körper $k$ (nämlich $k=\mathbb{Q}(\sqrt{d_K})$) zu ihrer normalen Hülle $N=K\cdot k$ erweitert werden. Dieser Normalkörper $N$ eines nicht-zyklischen (und daher auch nicht-Galoisschen) kubischen Zahlkörpers $K$ ist eine Erweiterung vom Absolutgrad $[N:\mathbb{Q}]=6$ mit der symmetrischen Gruppe der Ordnung $6$ als Galoisgruppe $G=\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{l}(N/\mathbb{Q})=⟨\sigma ,\tau \mid {\sigma }^3=1,{\tau }^2=1,\sigma \tau =\tau {\sigma }^{-1}⟩$. Der Verband der sechs Teilkörper von $N$ entspricht nach dem Hauptsatz der Galoistheorie bijektiv (umkehrbar eindeutig, ein-eindeutig) dem Verband der sechs Untergruppen von $G$. Dabei sind die drei Normalkörper $N=\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{x}(1)$, $k=\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{x}(⟨\sigma ⟩)$, $\mathbb{Q}=\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{x}(G)$ durch die Galois-Korrespondenz den drei selbst-konjugierten Untergruppen $1$, $⟨\sigma ⟩$, $⟨\sigma ,\tau ⟩$ zugeordnet, während die drei konjugierten kubischen Körper $K=\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{x}(⟨\tau ⟩)$, $K^{\prime }=K^{\sigma }=\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{x}(⟨\sigma \tau ⟩)$, $K^{\prime \prime }=K^{{\sigma }^2}=\mathrm{F}\mathrm{i}\mathrm{x}(⟨{\sigma }^2\tau ⟩)$ mit den drei konjugierten Untergruppen $⟨\tau ⟩$, $⟨\tau {\sigma }^2⟩={\sigma }^{-1}⟨\tau ⟩\sigma$, $⟨\tau \sigma ⟩={\sigma }^{-2}⟨\tau ⟩{\sigma }^2$ korrespondieren.

Unterschiede zu quadratischen Zahlkörpern

Während jeder quadratische Körper $k$ durch eine Radikal-Erweiterung $k=\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ mit einem quadratfreien Radikanden $d\in \mathbb{Z}\setminus \{0,1\}$ dargestellt werden kann (dazu beachte man, dass, auch wenn $k=\mathbb{Q}(\theta )$ durch eine Nullstelle $m(\theta )=0$ eines nicht-reinen quadratischen Polynoms $m(X)=m_{\theta }(X)=X^2-sX+n\in \mathbb{Z}[X]$ erzeugt ist, das primitive Element $\theta$ aufgrund der quadratischen Lösungsformel als $\theta =\frac{1}{2}(s+\sqrt{d_m})$ und sein Konjugiertes als ${\theta }^{\prime }=\frac{1}{2}(s-\sqrt{d_m})$ dargestellt werden kann mit der Diskriminante $d_m=s^2-4n$ von $m(X)$, also $\theta ,{\theta }^{\prime }\in \mathbb{Q}(\sqrt{d_m})$ aber umgekehrt auch mit dem Satz von Vieta $s=\theta +{\theta }^{\prime }$, $n=\theta {\theta }^{\prime }$, ${\theta }^{\prime }=\frac{\theta {\theta }^{\prime }}{\theta }=\frac{n}{\theta }\in \mathbb{Q}(\theta )$ und daher $\sqrt{d_m}=\theta -{\theta }^{\prime }\in \mathbb{Q}(\theta )$), ist dies nur für reine kubische Zahlkörper $K=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{d})$ mit einem kubenfreien Radikanden $d=a{b}^2>1$ möglich, wobei $a$ und $b$ quadratfreie teilerfremde natürliche Zahlen sind. Ist zusätzlich $a>b\ge 1$, so spricht man von einem normalisierten Radikanden $d$. Im Gegensatz zu einem quadratischen Zahlkörper $k=\mathbb{Q}(\sqrt{d})$, der durch seine Diskriminante, $d_k=4d$ für $d\equiv 2,3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$ beziehungsweise $d_k=d$ für $d\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}4)$, bis auf Isomorphie eindeutig gekennzeichnet ist, kann es mehrere nicht-isomorphe kubische Körper $K_1,\dots ,K_m$ mit übereinstimmender Diskriminante $d_{K_1}=\dots =d_{K_m}$ geben. Diese bilden dann ein Multiplett $(K_1,\dots ,K_m)$ mit Vielfachheit (Multiplizität) $m$, das zum Beispiel nach streng aufsteigenden Regulatoren $R_1<R_2<\dots <R_m$ angeordnet werden kann.

Erzeugende Polynome

Ein kubischer Zahlkörper $K$ kann durch Adjunktion einer Nullstelle $\theta$ eines normierten irreduziblen Polynoms dritten Grades mit ganzzahligen Koeffizienten an den rationalen Zahlkörper $\mathbb{Q}$ gebildet werden, also $K=\mathbb{Q}(\theta )$. Dieses Polynom ist dann automatisch das Minimalpolynom $m(X)=m_{\theta }(X)$ der Nullstelle $\theta$, also $m(X)=X^3-s{X}^2+qX-n\in \mathbb{Z}[X]$. Dabei ist die Bezeichnung der Koeffizienten von m(X) motiviert durch ihre Darstellung als elementar-symmetrische Polynome (ESP), die in der älteren Literatur als symmetrische Grundfunktionen bezeichnet werden. Ist $m(X)=(X-\theta )\cdot (X-{\theta }^{\prime })\cdot (X-{\theta }^{\prime \prime })$ die Zerlegung von $m(X)$ in Linearfaktoren über dem Zerfällungskörper $N$, dann folgt durch Ausmultiplizieren $m(X)=(X-\theta )\cdot (X^2-{\theta }^{\prime }X-{\theta }^{\prime \prime }X+{\theta }^{\prime }{\theta }^{\prime \prime })=X^3-\theta X^2-{\theta }^{\prime }{X}^2-{\theta }^{\prime \prime }{X}^2+\theta {\theta }^{\prime }X+\theta {\theta }^{\prime \prime }X+{\theta }^{\prime }{\theta }^{\prime \prime }X-\theta {\theta }^{\prime }{\theta }^{\prime \prime }=X^3-s{X}^2+qX-n$ mit dem linearen ESP $s=\theta +{\theta }^{\prime }+{\theta }^{\prime \prime }$, der Spur von $\theta$, dem quadratischen ESP $q=\theta {\theta }^{\prime }+{\theta }^{\prime }{\theta }^{\prime \prime }+{\theta }^{\prime \prime }\theta$ und dem kubischen ESP $n=\theta {\theta }^{\prime }{\theta }^{\prime \prime }$, der Norm von $\theta$.

Diskriminanten

Da die Diskriminante eines allgemeinen kubischen Polynoms $P(X)=a{X}^3+b{X}^2+cX+d\in \mathbb{Q}[X]$ durch den Ausdruck $d_P=18abcd-4a{c}^3-27a^2{d}^2+b^2{c}^2-4b^{3}d$ gegeben ist, ergibt sich für das Minimalpolynom $m(X)$ des primitiven Elementes $\theta$ von $K=\mathbb{Q}(\theta )$ speziell $d_m=18sqn-4q^3-27n^2+s^2{q}^2-4s^{3}n$. Wie jeder algebraische Zahlkörper besitzt auch ein kubischer Körper K eine Hauptordnung ${𝒪}_K$ (den Ring seiner ganzen algebraischen Elemente oder kurz Ganzheitsring), welche die Gleichungsordnung $\mathbb{Z}[\theta ]$ als Teilordnung vom Index $i_m=({𝒪}_K:\mathbb{Z}[\theta ])$ enthält. Man nennt $i_m$ den Index des Polynoms $m(X)$ und es gilt die grundlegende Beziehung $d_m=i_m^2\cdot d_K$ zwischen der Diskriminante $d_K$ des Körpers (beziehungsweise seiner Hauptordnung ${𝒪}_K$) und der Polynomdiskriminante $d_m$.

Reelle und komplexe Einbettungen

Die Signatur $(r_1,r_2)$ eines algebraischen Zahlkörpers $K$ vom Grad $[K:\mathbb{Q}]=g$ gibt die Anzahl $r_1$ der reellen Einbettungen $\varphi :K\hookrightarrow ℝ$ und die Anzahl $r_2$ der Paare von konjugiert komplexen Einbettungen $\psi ,\overline{\psi }:K\hookrightarrow ℂ$ von $K$ an und genügt der Beziehung $r_1+2r_2=g$. Für ungeraden Grad $g$ muss also auch $r_1$ ungerade sein, weil jedes Polynom ungeraden Grades mit reellen Koeffizienten mindestens eine reelle Nullstelle besitzt. Insbesondere gibt es für die Signatur eines kubischen Körpers mit $g=3$ nur zwei Möglichkeiten: entweder $(r_1,r_2)=(1,1)$ für einen einfach-reellen kubischen Zahlkörper oder $(r_1,r_2)=(3,0)$ für einen dreifach-reellen (total-reellen) kubischen Zahlkörper.

Einheiten-Gruppen

Allgemein ergibt sich aus der Signatur $(r_1,r_2)$ eines algebraischen Zahlkörpers $K$ nach dem Einheitensatz von Dirichlet sogleich die Struktur der Einheitengruppe $U_K$ von $K$ (genauer von der Hauptordnung ${𝒪}_K$) als direktes Produkt der Torsions-Untergruppe der in $K$ enthaltenen Einheitswurzeln ${\mu }_K$ und einer freien abelschen Gruppe vom torsionsfreien Einheitenrang $r=r_1+r_2-1$, also $U_K\simeq {\mu }_K\times {\mathbb{Z}}^r$. Die Einheitengruppe $U_N$ des Normalkörpers $N$ eines nicht-Galoisschen kubischen Zahlkörpers $K$ enthält die von den Einheitengruppen aller Teilkörper erzeugte Untergruppe $U_0=⟨U_k,U_K,U_{K^{\prime }},U_{K^{\prime \prime }}⟩$. Da sich jede Einheit in $U_{K^{\prime \prime }}$ aufgrund der Norm-Beziehung $\pm 1=N_{K/\mathbb{Q}}(\epsilon )=\epsilon {\epsilon }^{\sigma }{\epsilon }^{{\sigma }^2}=\epsilon {\epsilon }^{\prime }{\epsilon }^{\prime \prime }$ als Produkt ${\epsilon }^{\prime \prime }=\frac{\pm 1}{\epsilon {\epsilon }^{\prime }}$ von Einheiten in $U_K\cdot U_{K^{\prime }}$ darstellen lässt, kann die Untergruppe der Teilkörpereinheiten auch zu $U_0=U_k\cdot U_K\cdot U_{K^{\prime }}$ vereinfacht werden.

Einfach-reelle kubische Zahlkörper

Ein einfach-reeller kubischer Zahlkörper $K$ besitzt die Signatur $(r_1,r_2)=(1,1)$. Er ist zwar selbst reell, aber seine beiden Konjugierten, $K^{\prime }$ und $K^{\prime \prime }$, sind komplex, weshalb $K$ auch (etwas irreführend) als komplexer kubischer Zahlkörper bezeichnet wird. Sein Normalkörper $N$ ist total-komplex mit Signatur $(0,3)$ und dessen quadratischer Teilkörper $k$ ist imaginär-quadratisch mit Signatur $(0,1)$. Die Einheitengruppen von $N$, $K$, $k$ besitzen die torsionsfreien Ränge $r_N=0+3-1=2$, $r_K=1+1-1=1$, $r_k=0+1-1=0$, und die Strukturen $U_N={\mu }_N\times ⟨E_1,E_2⟩\simeq {\mu }_N\times {\mathbb{Z}}^2$ mit einem Fundamentalsystem $(E_1,E_2)$, $U_K={\mu }_K\times ⟨{\epsilon }_0⟩\simeq {\mu }_K\times \mathbb{Z}$ mit Grundeinheit ${\epsilon }_0$, die meist im Bereich $0<{\epsilon }_0<1$ oder $1<{\epsilon }_0<\mathrm{\infty }$ gewählt wird, und $U_k={\mu }_k$ ohne torsionsfreie Einheit. Die enthaltenen Einheitswurzeln sind ${\mu }_K=⟨-1⟩\simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ und stimmen bis auf zwei Spezialfälle mit ${\mu }_N={\mu }_k$ überein. Die Ausnahmen sind ${\mu }_N={\mu }_k=⟨{\zeta }_4⟩\simeq \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ für $k=\mathbb{Q}(\sqrt{-1})$ und ${\mu }_N={\mu }_k=⟨{\zeta }_6⟩\simeq \mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ für $k=\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$. Die Klassenzahlen der drei Körper $N$, $K$ und $k$ stehen zueinander in der Beziehung $h_N=\frac{i_N}{3}\cdot h_K^2\cdot h_k$ von Arnold Scholz, wobei der Einheitenindex $i_N=(U_N:U_0)\in \{1,3\}$ zwei Werte annehmen kann.

Total-reelle kubische Zahlkörper

Ein dreifach-reeller kubischer Zahlkörper $K$ besitzt die Signatur $(r_1,r_2)=(3,0)$. Er ist also wie seine beiden Konjugierten, $K^{\prime }$ und $K^{\prime \prime }$, reell. Sein Normalkörper $N$ ist total-reell mit Signatur $(6,0)$ und dessen quadratischer Teilkörper $k$ ist reell-quadratisch mit Signatur $(2,0)$. Die Einheitengruppen von $N$, $K$, $k$ besitzen die torsionsfreien Ränge $r_N=6+0-1=5$, $r_K=3+0-1=2$, $r_k=2+0-1=1$, und die Strukturen $U_N={\mu }_N\times ⟨\eta ,E_1,E_2,E_3,E_4⟩\simeq {\mu }_N\times {\mathbb{Z}}^5$ mit einem Fundamentalsystem $(\eta ,E_1,E_2,E_3,E_4)$, $U_K={\mu }_K\times ⟨{\epsilon }_1,{\epsilon }_2⟩\simeq {\mu }_K\times {\mathbb{Z}}^2$ mit einem Fundamentalsystem $({\epsilon }_1,{\epsilon }_2)$, und $U_k={\mu }_k\times ⟨\eta ⟩\simeq {\mu }_K\times \mathbb{Z}$ mit Grundeinheit $\eta$. Die enthaltenen Einheitswurzeln sind übereinstimmend ${\mu }_N={\mu }_K={\mu }_k=⟨-1⟩\simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, weil sämtlich reell. Die Klassenzahlen der drei Körper $N$, $K$ und $k$ genügen der Formel $h_N=\frac{i_N}{9}\cdot h_K^2\cdot h_k$ von Arnold Scholz, wobei der Einheitenindex $i_N=(U_N:U_0)\in \{1,3,9\}$ drei Werte annehmen kann. Diese drei Werte erlauben eine grobe Klassifikation der total-reellen kubischen Zahlkörper nach der Galois-Kohomologie der Einheitengruppe ihrer Normalkörper im Sinne von Nicole Moser. Dem Index $i_N=1$ mit $E_1={\epsilon }_1,E_2={\epsilon }_1^{\prime },E_3={\epsilon }_2,E_4={\epsilon }_2^{\prime }$ entspricht der Typ $\alpha$, aber für die anderen beiden Werte sind je zwei Typen möglich, nämlich Typ $\beta$ oder $\delta$ für $i_N=3$ und Typ $\gamma$ oder $\epsilon$ für $i_N=9$.

Normalkörper als Ringklassenkörper

Als zyklisch kubische Relativerweiterung $N/k$ des quadratischen Teilkörpers $k$ ist der Normalkörper $N$ eines nicht-Galoisschen kubischen Zahlkörpers $K$ ein Klassenkörper von $k$, genauer ein $3$-Ringklassenkörper nach einem ganzzahligen Führer $f$, weil $[N:k]=3$ und $\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{l}(N/\mathbb{Q})$ nicht abelsch ist. Der Führer bestimmt die Verzweigung der Primzahlen von $\mathbb{Q}$ in $K$ und der Primideale von $k$ in $N$ und erfüllt die Beziehung $d_K=f^2\cdot d_k$ von Helmut Hasse, wobei $d_K,d_k$ die Diskriminanten von $K,k$ bedeuten. Mehrere nicht-isomorphe kubische Zahlkörper $K_1,\dots ,K_m$ können denselben Führer $f$ besitzen und bilden dann ein Multiplett $(K_1,\dots ,K_m)$ der Vielfachheit (Multiplizität) $m$. Aufgrund der Hasseschen Beziehung $d_K=f^2\cdot d_k$ sind die Normalkörper $(N_1,\dots ,N_m)$ eines Multipletts zyklisch kubische Relativerweiterungen eines gemeinsamen quadratischen Teilkörpers $k=\mathbb{Q}(\sqrt{d_K})=\mathbb{Q}(\sqrt{d_k})$, weil das Quadrat $f^2$ des Führers für den quadratischen Radikanden $d_k$ irrelevant ist.

Tabellen von kubischen Zahlkörpern

Die umfangreichsten Zusammenstellungen von Invarianten kubischer Zahlkörper stammen von G. W. Fung und H. C. Williams für einfach-reelle kubische Zahlkörper $K$ mit Diskriminante $-10^6<d_K<0$ und von V. Ennola und R. Turunen für total-reelle kubische Zahlkörper $K$ mit Diskriminante $0<d_K<5\cdot 10^5$. Sie enthalten Regulatoren $R_K$ und Klassenzahlen $h_K$, die mit dem Algorithmus von G. F. Voronoi berechnet wurden. Letztere Tafel wurde neulich in zweifacher Hinsicht überboten durch die Klassifikation aller Multiplette $(K_1,\dots ,K_m)$ von total-reellen kubischen Zahlkörpern mit Diskriminante $0<d_K<10^7$ durch D. C. Mayer. Außer dem erweiterten Diskriminantenbereich bietet diese Klassifikation erstmalig tieferliegende Invarianten in Form einer Verfeinerung der fünf Typen $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\epsilon$ von N. Moser zu neun Untertypen ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\beta }_1,{\beta }_2,\gamma ,{\delta }_1,{\delta }_2,\epsilon$ nach der Galois-Kohomologie der Einheitengruppen der Normalkörper $(N_1,\dots ,N_m)$. Sie wurde mit völlig neuartigen Methoden durch Auffassung der Normalkörper $(N_1,\dots ,N_m)$ als $3$-Ringklassenkörper nach $3$-zulässigen Führern $f$ unter Verwendung der klassenkörpertheoretischen Routinen von C. Fieker im Computeralgebrasystem Magma konstruiert. Nichtsdestoweniger ist der Algorithmus von Voronoi nach wie vor ein unerlässliches Hilfsmittel für die Konstruktion der Gitter-Minima einer Ordnung in einem kubischen Zahlkörper, die in Magma bisher noch nicht implementiert ist. Das wurde vor kurzem anhand einer unendlichen Serie monogener einfach-reeller kubischer Zahlkörper von A. Soullami und D. C. Mayer demonstriert. Die bisher umfangreichste Klassifikation von reinen kubischen Zahlkörpern $K=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{d})$ mit normalisierten Radikanden $d<10^6$ wurde von S. Aouissi, D. C. Mayer und Koautoren durchgeführt.