Kreisteilungskörper

Kreisteilungskörper (auch: zyklotomische Körper) sind Studienobjekte des mathematischen Teilgebietes der algebraischen Zahlentheorie. Sie sind in gewisser Hinsicht besonders einfache Verallgemeinerungen des Körpers der rationalen Zahlen.

Definition

Es sei $n>2$ eine natürliche Zahl. Dann ist der $n$-te Kreisteilungskörper diejenige Körpererweiterung $\mathbb{Q}({\mu }_n)$ von $\mathbb{Q}$, die durch Adjunktion der Menge ${\mu }_n$ aller $n$-ten Einheitswurzeln entsteht.

Eigenschaften

• Ist ${\zeta }_n$ eine primitive $n$-te Einheitswurzel, so ist das Minimalpolynom von ${\zeta }_n$ das $n$-te Kreisteilungspolynom ${\mathrm{\Phi }}_n$, deshalb ist

$\mathbb{Q}({\mu }_n)=\mathbb{Q}({\zeta }_n)\cong \mathbb{Q}[T]/({\mathrm{\Phi }}_n(T)).$

Insbesondere ist der Erweiterungsgrad $[\mathbb{Q}({\mu }_n):\mathbb{Q}]=\phi (n)$ mit der eulerschen φ-Funktion.

• Zwei Kreisteilungskörper $\mathbb{Q}({\mu }_n)$ und $\mathbb{Q}\mathbb{(}{\mu }_m)$ mit $n<m$ sind genau dann gleich, wenn $n$ ungerade ist und $m=2n$ gilt.

• Die Adjunktion der $m$-ten Einheitswurzeln zu $\mathbb{Q}({\mu }_n)$ ergibt $\mathbb{Q}({\mu }_N)$ mit $N=\mathrm{k}\mathrm{g}\mathrm{V}(m,n).$

• Die Erweiterung $\mathbb{Q}({\mu }_n)|\mathbb{Q}$ ist galoissch. Die Galoisgruppe ist isomorph zu $(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}{)}^{\times };$ ist ${\zeta }_n$ eine primitive $n$-te Einheitswurzel, so entspricht einem Element $k\in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}{)}^{\times }$ der durch

${\zeta }_n\mapsto {\zeta }_n^k$

definierte Automorphismus von $\mathbb{Q}({\mu }_n).$

• Der Ganzheitsring von $\mathbb{Q}({\mu }_n)$ ist $\mathbb{Z}[{\zeta }_n]$ mit einer beliebigen primitiven $n$-ten Einheitswurzel ${\zeta }_n$.

• Insbesondere ist der Ganzheitsring von $\mathbb{Q}({\mu }_4)=\mathbb{Q}(\sqrt{-1})$ gleich dem Ring der ganzen gaußschen Zahlen, der Ganzheitsring von $\mathbb{Q}({\mu }_3)=\mathbb{Q}({\mu }_6)=\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ ist gleich dem Ring der Eisenstein-Zahlen. Diese beiden Zahlkörper sind die einzigen algebraischen Erweiterungen der rationalen Zahlen, die sowohl Kreisteilungskörper als auch quadratische Erweiterungskörper sind.

Diskriminante und Verzweigung

Die Diskriminante von $\mathbb{Q}({\zeta }_n)$ für $n>2$ ist

${\mathrm{\Delta }}_{\mathbb{Q}({\zeta }_n)}=(-1{)}^{\frac{\phi (n)}{2}}\frac{n^{\phi (n)}}{\prod _{p\mid n}{p}^{\frac{\phi (n)}{p-1}}}.$

Die in $\mathbb{Q}({\zeta }_n)$ verzweigten Primzahlen sind gerade die Primteiler der Diskriminante. Insbesondere ist eine ungerade Primzahl genau dann verzweigt in $\mathbb{Q}({\zeta }_n)$, wenn sie ein Teiler von $n$ ist. Die $2$ ist genau dann verzweigt, wenn $4\mid n$. Eine Primzahl $p$ ist genau dann voll zerlegt, wenn $p\equiv 1(\mathrm{mod}n)$ gilt.

Ist $n={\ell }^{\nu }>2$ eine Primzahlpotenz, so ist $\ell$ die einzige verzweigte Primzahl in $\mathbb{Q}({\zeta }_{{\ell }^{\nu }})$. $\ell$ ist dann unzerlegt und vollständig verzweigt. Man kann zeigen, dass $1-{\zeta }_{{\ell }^{\nu }}$ ein Element mit Norm $\ell$ ist. Das einzige Primideal über $\ell$ ist also das Hauptideal, das von $1-{\zeta }_{{\ell }^{\nu }}$ erzeugt wird:

$(\ell )=(1-{\zeta }_{{\ell }^{\nu }}{)}^{{\ell }^{\nu -1}(\ell -1)}.$

Für die Diskriminante ergibt sich ${\mathrm{\Delta }}_{\mathbb{Q}({\zeta }_{{\ell }^{\nu }})}=\pm {\ell }^{{\ell }^{\nu -1}(\nu \ell -\nu -1)}$.

Satz von Kronecker-Weber

Der Satz von Kronecker-Weber (nach L. Kronecker und H. Weber) besagt, dass jeder algebraische Zahlkörper mit abelscher Galoisgruppe in einem Kreisteilungskörper enthalten ist. Die maximale abelsche Erweiterung von $\mathbb{Q}$ entsteht also durch Adjunktion aller Einheitswurzeln.

Idealklassengruppe

Die Klassenzahl $h_n$ von $\mathbb{Q}({\zeta }_n)$ besteht aus zwei ganzzahligen Faktoren $h_n^{+}$ und $h_n^{-}$. Hierbei ist $h_n^{+}$ die Klassenzahl des maximalen reellen Teilkörpers $\mathbb{Q}({\zeta }_n{)}^{+}=\mathbb{Q}({\zeta }_n+{\zeta }_n^{-1})$ und $h_n^{-}:=h_n/h_n^{+}$ die Relativklassenzahl. Die Idealklassengruppe $C_n^{+}$ von $\mathbb{Q}({\zeta }_n{)}^{+}$ kann als Untergruppe der Idealklassengruppe $C_n$ von $\mathbb{Q}({\zeta }_n)$ aufgefasst werden.

Die Relativklassenzahl $h_n^{-}$ kann mithilfe von Dirichlet-Charakteren und Bernoulli-Zahlen explizit bestimmt werden.

Die Klassenzahl $h_n$ von $\mathbb{Q}({\zeta }_n)$ zu bestimmen, ist im Allgemeinen schwierig. Aus dem Satz von Brauer-Siegel, der eine Aussage über das asymptotische Verhalten der Klassenzahl macht, lässt sich folgern, dass $h_n\to \mathrm{\infty }$ für $n\to \mathrm{\infty }$. Insbesondere gibt es nur endlich viele Kreisteilungskörper mit Klassenzahl $1$. Die vollständige Liste aller $n$ mit $h_n=1$ lautet

$1,2,3,\dots ,22,24,25,26,27,28,30,32,33,34,35,36,38,40,42,44,45,48,50,54,60,66,70,84,90.$

In genau diesen Fällen ist $\mathbb{Z}[{\zeta }_n]$ ein Hauptidealring und es gibt eine eindeutige Primfaktorzerlegung von Elementen.

Die ungelöste Vandiver-Vermutung sagt voraus, dass die Primzahl $p$ kein Teiler von $h_p^{+}$ ist.

Literatur

• Serge Lang: Cyclotomic Fields I and II (= Graduate Texts in Mathematics. 121). Combined 2nd edition. Springer, New York NY u. a. 1990, ISBN 3-540-96671-4.
• Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, Berlin 1992, ISBN 3-540-54273-6.
• Lawrence C. Washington: Introduction to Cyclotomic Fields (= Graduate Texts in Mathematics. 83). Springer, Berlin u. a. 1982, ISBN 3-540-90622-3 (2nd edition. Springer, New York u. a. 1997, ISBN 0-387-94762-0).
• Senon I. Borewicz, Igor R. Šafarevič: Zahlentheorie (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiet der exakten Wissenschaften, Mathematische Reihe. 32). Springer, Basel 1966, ISBN 978-3-0348-6945-4.

Weblinks

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