Regulator (Zahlentheorie)

Der Regulator bezeichnet in der Zahlentheorie eine Größe, die Auskunft über die Einheiten eines algebraischen Zahlkörpers gibt. Jedem Zahlkörper $K$ ist ein solcher Regulator $R_K$ zugeordnet.

Definition

Sei $K$ ein algebraischer Zahlkörper mit Erweiterungsgrad $[K:\mathbb{Q}]=n$. Sei $r$ die Anzahl der reellen Einbettungen von $K$ und $2s$ die Anzahl der komplexen Einbettungen, es gilt also $n=r+2s$. Dann ist der freie Teil der Einheitengruppe des ganzen Abschlusses ${𝒪}_K$ von $\mathbb{Z}$ in $K$ nach dem dirichletschen Einheitensatz isomorph zu ${\mathbb{Z}}^{r+s-1}$. Bildet man die Einheitengruppe ${𝒪}_K^{\times }$ über

$a\mapsto (\ln (|{\rho }_1(a)|),\dots ,\ln (|{\rho }_r(a)|),2\ln (|{\sigma }_1(a)|),\dots ,2\ln (|{\sigma }_s(a)|))$

in den ${ℝ}^{r+s}$ ab, wobei ${\rho }_1,\dots ,{\rho }_r$ die reellen Einbettungen und ${\sigma }_1,\overline{{\sigma }_1}\dots ,{\sigma }_s,\overline{{\sigma }_s}$ die komplexen Einbettungen sind, so ist das Bild ein $(r+s-1)$-dimensionales Gitter des Volumens $V$. Der Regulator $R_K$ ist nun definiert als

$R_K:=\frac{V}{\sqrt{r+s}}.$

Er stellt eine wichtige Größe des Zahlkörpers dar und taucht zum Beispiel in der Klassenzahlformel wieder auf.

Verallgemeinerungen

Verallgemeinerungen dieses Begriffs sind unter anderem der Borel-Regulator und der Beilinson-Regulator. Zur Abgrenzung von diesen wird der in diesem Artikel beschriebene Spezialfall auch als Dirichletscher Regulator bezeichnet.

Literatur

• S. I. Borevich, I. R. Shafarevich: Zahlentheorie. Birkhäuser Verlag, 1966.