Clifford-Modul-Bündel

Ein Clifford-Modul-Bündel ist ein mathematisches Objekt aus der Differentialgeometrie. Es wird insbesondere in der Spin-Geometrie zur Untersuchung von Spin-Strukturen genutzt. Es handelt sich um ein Vektorbündel, dessen Fasern Clifford-Moduln – also Darstellungsräume einer Clifford-Algebra sind. Ein kanonisches Beispiel für Clifford-Modul-Bündel sind die Spinorbündel. Eine andere Klasse dieser Bündel sind die Dirac-Bündel.

Der Begriff Clifford-Modul-Bündel sollte nicht mit dem des Clifford-Bündels, das ein Vektorbündel von Clifford-Algebren ist, verwechselt werden.

Definition

Es sei $M$ eine riemannsche Mannigfaltigkeit gerader Dimension. Ein Clifford-Modul-Bündel über $M$ ist ein Vektorbündel $ℰ\to M$, dessen Fasern ${ℰ}_p$ Clifford-Moduln sind.

Anders ausgedrückt, ist ein Clifford-Modul-Bündel über $M$ ein ${\mathbb{Z}}_2$-graduiertes Vektorbündel $ℰ\to M$ mit einer graduierten Aktion

$\mathrm{\Gamma }(M,C\ell (M))\times \mathrm{\Gamma }(ℰ)\to \mathrm{\Gamma }(ℰ),(a,s)\mapsto c(a)s$,

wobei $C\ell (M)$ das Clifford-Bündel und $c$ die entsprechende Clifford-Multiplikation sind.