Verallgemeinerter Laplace-Operator

Verallgemeinerte Laplace-Operatoren sind mathematische Objekte, welche in der Differentialgeometrie insbesondere in der Globalen Analysis untersucht werden. Die hier behandelten Operatoren sind Verallgemeinerungen des aus der reellen Analysis bekannten Laplace-Operators. Diese Verallgemeinerungen sind notwendig, um den Laplace-Operator auf riemannsche Mannigfaltigkeit definieren zu können. Eine wichtige Rolle spielen diese Operatoren in den Beweisen für den Atiyah-Singer-Indexsatz und den Atiyah-Bott-Fixpunktsatz.

Definition

Sei $(M,g)$ eine n-dimensionale riemannsche Mannigfaltigkeit, $\pi :E\to M$ ein hermitesches Vektorbündel und $H:{\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(M,E)\to {\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(M,E)$ ein geometrischer Differentialoperator zweiter Ordnung. Dieser heißt verallgemeinerter Laplace-Operator, falls für sein Hauptsymbol

${\sigma }_H^2(x,\xi )=\Vert \xi {\Vert }^2$

für $x\in M$ und $\xi \in T_x^{*}M$ gilt. Die Norm wird durch die riemannsche Metrik induziert und daher ist auch die Definition abhängig von der Metrik.

Beispiele

Im Folgenden werden einige bekannte Beispiele verallgemeinerter Laplace-Operatoren vorgestellt. Dazu sei wieder wie in der Definition $(M,g)$ eine $n$-dimensionale, kompakte riemannsche Mannigfaltigkeit und $\pi :E\to M$ ein Vektorbündel.

Laplace-Beltrami-Operator

Definition

Der Laplace-Beltrami-Operator ist definiert durch

$\mathrm{\Delta }f:=\mathrm{div}(\mathrm{grad}f).$

für zweimal stetig differenzierbare Funktionen $f:M\to ℝ$. Dabei bezeichnet $\mathrm{grad}f$ den Gradienten der Funktion $f$, ein Vektorfeld auf $M$. Die Divergenz eines Vektorfeldes $X$ auf $M$ an der Stelle $p\in M$ ist definiert als die Spur der linearen Abbildung $\mathrm{\nabla }X:T_{p}M\to T_{p}M$, $\xi \mapsto {\mathrm{\nabla }}_{\xi }X$, wobei $\mathrm{\nabla }$ der Levi-Civita-Zusammenhang auf $M$ ist. Hat man als Definitionsbereich eine offene Teilmenge des ${ℝ}^n$, betrachtet als Mannigfaltigkeit über sich, so ist der Zusammenhang $\mathrm{\nabla }$ die gewöhnliche Richtungsableitung und $\mathrm{div}$ die aus der reellen Analysis bekannte Divergenz eines Vektorfeldes. In diesem Fall erhält man den bekannten Laplace-Operator.

Lokale Koordinaten

Es seien $(x_1,\dots ,x_n)$ lokale Koordinaten auf $M$ und $\frac{\partial }{\partial x_1},\dots ,\frac{\partial }{\partial x_n}$ die zugehörigen Basisfelder des Tangentialbündels. Mit $g_{ij}$ für $1\le i,j\le n$ seien die Komponenten der riemannschen Metrik $g$ bezüglich dieser Basis bezeichnet.

Die Darstellung des Gradienten $\mathrm{grad}$ in lokalen Koordinaten lautet dann

$\mathrm{grad}f=\sum _{i,j}\left(g^{ij}\frac{\partial f}{\partial x_j}\right)\frac{\partial }{\partial x_i}$.

Hierbei ist $(g^{ij})$ die inverse Matrix der Matrix $(g_{ij})$.

Die Darstellung der Divergenz eines Vektorfelds $X=\sum _i{X}^i\frac{\partial }{\partial x_i}$ ist

$\mathrm{div}X=\frac{1}{\sqrt{\det g}}\sum _i\frac{\partial }{\partial x_i}\left(\sqrt{\det g}{X}^i\right)$,

wobei $\det g$ die Determinante der Matrix $(g_{ij})$ ist.

Setzt man diese Gleichungen zusammen, so erhält man die lokale Darstellung

$\mathrm{\Delta }f=\mathrm{div}(\mathrm{\nabla }f)=\frac{1}{\sqrt{\det g}}\sum _{i,j}\frac{\partial }{\partial x_i}\left(\sqrt{\det g}{g}^{ij}\frac{\partial f}{\partial x_j}\right)$

des Laplace-Beltrami-Operators bezüglich der Metrik $g$. Setzt man in dieser Formel für den Laplace-Beltrami-Operator die Darstellung des euklidischen metrischen Tensors in Polar-, Zylinder- oder Kugelkoordinaten ein, so erhält man die Darstellung des üblichen Laplace-Operators in diesen Koordinatensystemen.

Hodge-Laplace-Operator

Sei $𝒜(M):={⨁}_{i=1}^n{𝒜}^i(M)$ der Raum der Differentialformen über $M$ und $\mathrm{d}:{𝒜}^i(M)\to {𝒜}^{i+1}(M)$ die äußere Ableitung. Die adjungierte äußere Ableitung wird mit $\delta$ bezeichnet. Dann heißt der Operator

$\mathrm{\Delta }:=\mathrm{d}\delta +\delta \mathrm{d}=(\mathrm{d}+\delta {)}^2$

Hodge-Laplace- oder Laplace-de-Rham-Operator und ist ein verallgemeinerter Laplace-Operator. Die Namen stammen daher, dass dieser Operator in der klassischen Hodge-Theorie und dem damit eng verbundenen De-Rham-Komplex Anwendung findet.

Dirac-Laplace-Operator

Ein Dirac-Operator

$D:{\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(M,E)\to {\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(M,E)$

ist gerade so definiert, dass er durch quadrieren einen verallgemeinerten Laplace-Operator induziert. Das heißt, $D^2:{\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(M,E)\to {\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(M,E)$ ist ein verallgemeinerter Laplace-Operator und wird Dirac-Laplace-Operator genannt. Diese Laplace-Operatoren spielen eine wichtige Rolle im Beweis des Indexsatzes.

Bochner-Laplace-Operator

Definition

Der Bochner-Laplace-Operator wird mit dem metrischen Zusammenhang ${\mathrm{\nabla }}^E:\mathrm{\Gamma }(M,E)\to \mathrm{\Gamma }(T^{*}M\otimes E)$ auf dem Vektorbündel $E$ definiert. Sei außerdem ${\mathrm{\nabla }}^{T^{*}M}:\mathrm{\Gamma }(M,T^{*}M)\to \mathrm{\Gamma }(T^{*}M\otimes T^{*}M)$ der Levi-Civita-Zusammenhang und ${\mathrm{\nabla }}^{T^{*}M\otimes E}$ der durch ${\mathrm{\nabla }}^E$ und ${\mathrm{\nabla }}^{T^{*}M}$ induzierte Zusammenhang auf dem Bündel $T^{*}M\otimes E$

dann ist der Bochner-Laplace-Operator durch

${\mathrm{\Delta }}^E\cdot :=-{\mathrm{Tr}}_g({\mathrm{\nabla }}^{T^{*}M\otimes E}{\mathrm{\nabla }}^E\cdot ).$

definiert. Die Abbildung ${\mathrm{Tr}}_g$ ist dabei die Tensorverjüngung bezüglich der riemannschen Metrik.

Eine äquivalente Definition des Bochner-Laplace-Operators ist

${\mathrm{\Delta }}^E:=-({\mathrm{\nabla }}^E{)}^{*}{\mathrm{\nabla }}^E.$

Dabei ist $({\mathrm{\nabla }}^E{)}^{*}$ der adjungierte Operator bezüglich der riemannschen Metrik $g$.

Lokale Darstellung

Wählt man als Zusammenhang den Levi-Civita-Zusammenhang so erhält man in lokalen Koordinaten mit dem orthonormalen Rahmen $e_1,\dots ,e_n$ die Darstellung

${\mathrm{\Delta }}^E=-\sum _{i=1}^n(\underset{e_i}{\overset{E}{\mathrm{\nabla }}}\underset{e_i}{\overset{E}{\mathrm{\nabla }}}-\underset{{\mathrm{\nabla }}_{e_i}{e}_i}{\overset{E}{\mathrm{\nabla }}}).$

Eigenschaften

• Ein verallgemeinerter Laplace-Operator ist ein geometrischer Differentialoperator der Ordnung zwei.
• Da ein verallgemeinerter Laplace-Operator, wie in der Definition gefordert, das Hauptsymbol $|\xi {|}^2$ hat, ist er ein elliptischer Differentialoperator.
• Jeder Differentialoperator zweiter Ordnung mit positiv definitem Hauptsymbol ist ein verallgemeinerter Laplace-Operator bezüglich einer geeigneten riemannschen Metrik auf der Mannigfaltigkeit und einer geeigneten hermiteschen Metrik auf dem Vektorbündel.
• Sind $\varphi ,\psi \in {\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(M,E)$ glatte Schnitte, so gilt

$g({\mathrm{\Delta }}^E\varphi ,\psi )=g({\mathrm{\nabla }}^E\varphi ,{\mathrm{\nabla }}^E\psi )$.

• Der Operator ${\mathrm{\Delta }}^E$ ist nichtnegativ und wesentlich selbstadjungiert bezüglich $L^2(X,E)$. Die Definition des $L^2$ auf Mannigfaltigkeiten kann in dem Artikel über Dichtebündel nachgelesen werden.
• Jeder verallgemeinerte Laplace-Operator $H$ bestimmt eindeutig einen Zusammenhang ${\mathrm{\nabla }}^E$ auf dem Vektorbündel $E$ und einen Schnitt $B\in {\mathrm{\Gamma }}^{\mathrm{\infty }}(M,\mathrm{End}(E))$, so dass $H={\mathrm{\Delta }}^E-B$ gilt, wobei ${\mathrm{\Delta }}^E$ der Bochner-Laplace-Operator ist. Jeder verallgemeinerte Laplace-Operator stimmt also mit dem Bochner-Laplace-Operator bis auf eine Störung der Ordnung Null überein.

Quellen

• Isaac Chavel: Eigenvalues in Riemannian Geometry (= Pure and Applied Mathematics 115). Academic Press, Orlando FL u. a. 1984, ISBN 0-12-170640-0.
• Liviu I. Nicolaescu: Lectures on the geometry of manifolds. 2nd edition. World Scientific Pub Co., Singapore u. a. 2007, ISBN 978-981-270853-3.
• Martin Schottenloher: Geometrie und Symmetrie in der Physik. Leitmotiv der Mathematischen Physik (= Vieweg-Lehrbuch Mathematische Physik). Vieweg, Braunschweig u. a. 1995, ISBN 3-528-06565-6.

Siehe auch

• Vektorieller Laplace-Operator