Schläfli-Symbol

Das Schläfli-Symbol, benannt nach dem Schweizer Mathematiker Ludwig Schläfli, wird in der Form ${p, q, r, \dots}$ benutzt, um reguläre Polygone, Polyeder und andere Vielflächner, auch in höheren Dimensionen, zu beschreiben.

Wenn $p$ eine natürliche Zahl ist, beschreibt das Symbol $p$ ein regelmäßiges Polygon ( $p$ -Eck).

Ist $p$ ein nicht notwendig gekürzter Bruch, dann beschreibt es einen Stern.

Das Symbol ${p, q}$ beschreibt eine Pflasterung mittels regelmäßiger $p$ -Ecke, wobei $q$ angibt, wie viele solcher Polygone an jeder Ecke zusammenstoßen.

Die Inversion eines Schläfli-Symbols liefert das dazu duale Polygon.

Beispiele

Punkt

$()$ bezeichnet einen Punkt.

Strecke

${}$ bezeichnet eine Strecke.

Regelmäßige Polygone

${n}$ bezeichnet ein regelmäßiges $n$ -Eck $.$

Sterne

Notiert werden solche regelmäßigen Sterne mit Schläfli-Symbolen ${n / k}$ , wobei $n$ die Anzahl der Eckpunkte angibt und jeder $k$ -te Punkt verbunden wird.

Beispiel

Der Fünfstrahlstern ergibt sich, wenn beim Verbinden der fünf Eckpunkte jedes Mal

immer einer (beim ${5 / 2}$ ) oder
immer zwei Punkte (beim ${5 / 3}$ ) übersprungen werden und dadurch die erzeugten Sehnen gleich lang sind.

keine vom Dreieck
keine vom Viereck
1 Pentagramm vom Fünfeck	${5 / 2}$ oder ${5 / 3}$
keine vom Sechseck
2 Heptagramme vom Siebeneck	${7 / 2}$ oder ${7 / 5}$
2 Heptagramme vom Siebeneck	${7 / 3}$ oder ${7 / 4}$
1 Oktogramm vom Achteck	${8 / 3}$ oder ${8 / 5}$
2 Ennea- gramme vom Neuneck	${9 / 2}$ oder ${9 / 7}$
2 Ennea- gramme vom Neuneck	${9 / 4}$ oder ${9 / 5}$
1 Dekagramm vom Zehneck	${10 / 3}$ oder ${10 / 7}$
4 Hendeka- gramme vom Elfeck	${11 / 2}$ oder ${11 / 9}$
	${11 / 3}$ oder ${11 / 8}$
	${11 / 4}$ oder ${11 / 7}$
	${11 / 5}$ oder ${11 / 6}$
1 Dodeka- gramm vom Zwölfeck	${12 / 5}$ oder ${12 / 7}$
5 Trideka- gramme vom 13-Eck	${13 / 2}$ oder ${13 / 11}$
	${13 / 3}$ oder ${13 / 10}$
	${13 / 4}$ oder ${13 / 9}$
	${13 / 5}$ oder ${13 / 8}$
	${13 / 6}$ oder ${13 / 7}$
2 Tetradeka- gramme vom 14-Eck	${14 / 3}$ oder ${14 / 11}$
2 Tetradeka- gramme vom 14-Eck	${14 / 5}$ oder ${14 / 9}$
3 Pentadeka- gramme vom 15-Eck	${15 / 2}$ oder ${15 / 13}$
	${15 / 4}$ oder ${15 / 11}$
	${15 / 7}$ oder ${15 / 8}$
3 Hexadeka- gramme vom 16-Eck	${16 / 3}$ oder ${16 / 13}$
	${16 / 5}$ oder ${16 / 11}$
	${16 / 7}$ oder ${16 / 9}$

7 Heptadeka- gramme vom 17-Eck	${17 / 2}$ oder ${17 / 15}$
	${17 / 3}$ oder ${17 / 14}$
	${17 / 4}$ oder ${17 / 13}$
	${17 / 5}$ oder ${17 / 12}$
	${17 / 6}$ oder ${17 / 11}$
	${17 / 7}$ oder ${17 / 10}$
	${17 / 8}$ oder ${17 / 9}$
2 Oktodeka- gramme vom 18-Eck	${18 / 5}$ oder ${18 / 13}$
2 Oktodeka- gramme vom 18-Eck	${18 / 7}$ oder ${18 / 11}$
8 Enneadeka- gramme vom 19-Eck	${19 / 2}$ oder ${19 / 17}$
	${19 / 3}$ oder ${19 / 16}$
	${19 / 4}$ oder ${19 / 15}$
	${19 / 5}$ oder ${19 / 14}$
	${19 / 6}$ oder ${19 / 13}$
	${19 / 7}$ oder ${19 / 12}$
	${19 / 8}$ oder ${19 / 11}$
	${19 / 9}$ oder ${19 / 10}$
3 Ikosa- gramme vom 20-Eck	${20 / 3}$ oder ${20 / 17}$
	${20 / 7}$ oder ${20 / 13}$
	${20 / 9}$ oder ${20 / 11}$
5 Ikosihen- gramme vom 21-Eck	${21 / 2}$ oder ${21 / 19}$
	${21 / 4}$ oder ${21 / 17}$
	${21 / 5}$ oder ${21 / 16}$
	${21 / 8}$ oder ${21 / 13}$
	${21 / 10}$ oder ${21 / 11}$
Vorlage:04 Doikosagramme vom 22-Eck
10 Trikosagramme vom 23-Eck
Vorlage:03 Tetraikosagramme vom Vierundzwanzigeck

Platonische Körper

${p, q}$ : p ist die Zahl der Ecken des verwendeten Polygons; q ist die Zahl der an einer Ecke zusammenstoßender Polygone

${3, 3}$ bezeichnet das selbstduale Tetraeder.

${3, 4}$ bezeichnet das Oktaeder, die Inversion ${4, 3}$ den zum Oktaeder dualen Würfel.

${3, 5}$ bezeichnet das Ikosaeder, die Inversion ${5, 3}$ das zum Ikosaeder duale Dodekaeder.

Platonische Parkette

${3, 6}$ bezeichnet die Dreieckparkettierung, die Inversion ${6, 3}$ die zur Dreieckparkettierung duale Sechseckparkettierung.

${4, 4}$ bezeichnet die selbstduale Quadratparkettierung.

Das entscheidende Merkmal, worin sich das Schläfli-Symbol eines Platonischen Körpers ${m, n}$ von dem eines Platonischen Parketts ${m, n}$ unterscheidet, ist, dass für einen Körper $2 \cdot (m + n) > m \cdot n$ gilt, für ein Parkett hingegen $2 \cdot (m + n) = m \cdot n$ .

Kepler-Poinsot-Körper

${3, 5 / 2}$ bezeichnet das Große Ikosaeder, die Inversion ${5 / 2, 3}$ das zum Großen Ikosaeder duale Große Sterndodekaeder.

${5, 5 / 2}$ bezeichnet das Große Dodekaeder, die Inversion ${5 / 2, 5}$ das zum Großen Dodekaeder duale Kleine Sterndodekaeder.

Vierdimensionale Körper

${3, 3, 3}$ bezeichnet das Pentachoron,

${4, 3, 3}$ den vierdimensionalen Würfel (Tesserakt), das Duale ${3, 3, 4}$ dazu den regulären 16-Zeller (Hexadekachor),

${3, 4, 3}$ den regulären 24-Zeller (Ikositetrachor).

Mehrdimensionale Körper

${3, 3, 3, 3}$ oder ${3^{4}}$ bezeichnet das 5-Simplex $𝔖_{5}$ .

${3, 3, 3, 3, 3}$ oder ${3^{5}}$ bezeichnet das 6-Simplex $𝔖_{6}$ .

${3^{d - 1}}$ bezeichnet das d-Simplex $𝔖_{d}$ .

Siehe auch

Coxeter-Diagramm

Literatur

Harold Scott MacDonald Coxeter: Regular Polytopes. New York, Pitman 1948; 2. Auflage, MacMillan 1963; 3. Auflage, Dover 1983.

Weblinks

Vorlage:MathWorld

Schläfli-Symbol

Inhaltsverzeichnis

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Strecke

Regelmäßige Polygone

Sterne

Platonische Körper

Platonische Parkette

Kepler-Poinsot-Körper

Vierdimensionale Körper

Mehrdimensionale Körper

Siehe auch

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