Oktaeder

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Oktaeder bedeutet Achtflächner und bezeichnet in umfassender Bedeutung jedes Polyeder mit acht Seiten. Dazu zählen neben weitgehend unregelmäßigen Polyedern auch:

(regelmäßige) Siebeneck-Pyramide^[1]
(regelmäßiger) Sechseck-Pyramidenstumpf
(regelmäßiges) Sechseckiges Prisma^[2]
(regelmäßiger) Tetraederstumpf
Viereck-Doppelpyramide

Siebeneck-Pyramide
Sechseck-Pyramidenstumpf
Sechseckprisma
Tetraederstumpf
Viereck-Doppelpyramide

Ist das Viereck der Viereck-Doppelpyramide ein Quadrat und sind die Kanten zu den beiden anderen Ecken genauso lang wie die Seiten des Vierecks, so ergibt sich ein regelmäßiger Achtflächner aus kongruenten Seiten, gleichlangen Kanten und gleichen Winkeln in allen Ecken. Im allgemeinen Sprachgebrauch wird mit Oktaeder nur dieser regelmäßige Polyeder bezeichnet.

Dieser Artikel handelt im Folgenden vom Oktaeder als regelmäßiger Achtflächner. Vorlage:Absatz

Oktaeder

Art der Seitenflächen	gleichseitige Dreiecke
Anzahl der Flächen	8
Anzahl der Ecken	6
Anzahl der Kanten	12
Schläfli-Symbol	{3,4}
dual zu	Hexaeder (Würfel)
Körpernetz
Anzahl verschiedener Netze	11
Anzahl Kanten in einer Ecke	4
Anzahl Ecken einer Fläche	3

Das (auch, v. a. österr.: der) regelmäßige Oktaeder [[[:Vorlage:IPA]]] (von Vorlage:GrcS)^[3] ist einer der fünf platonischen Körper, genauer ein regelmäßiges Polyeder (Vielflach, Vielflächner) mit

8 kongruenten gleichseitigen Dreiecken als Seitenflächen
12 gleich langen Kanten und
6 Ecken, in denen jeweils vier Seitenflächen zusammentreffen

Es ist sowohl eine gleichseitige vierseitige Doppelpyramide mit quadratischer Grundfläche – in seiner Eigenschaft als das regelmäßige Kreuzpolytop der dritten Dimension – als auch ein gleichseitiges Antiprisma mit einem gleichseitigen Dreieck als Grundfläche.

Symmetrie

Datei:01 Oktaeder-Symmetrie.png

Oktaeder mit Beispielen der Drehachsen

C_{4}, C_{3}, C_{2}

und zwei Symmetrieebenen (rot bzw. grün)

Wegen seiner hohen Symmetrie – alle Ecken, Kanten und Flächen sind untereinander gleichartig – ist das Oktaeder ein reguläres Polyeder. Es hat:

3 vierzählige Drehachsen $C_{4}$ (durch gegenüberliegende Ecken)
4 dreizählige Drehachsen $C_{3}$ (durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Flächen)
6 zweizählige Drehachsen $C_{2}$ (durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Kanten)
9 Symmetrieebenen (3 Ebenen durch je vier Ecken (z. B. rot), 6 Ebenen durch jeweils zwei Ecken und zwei Kantenmittelpunkte (z. B. grün))
14 Drehspiegelungen (6 um 90° mit den Ebenen durch je vier Ecken und 8 um 60° mit Ebenen durch je sechs Kantenmitten)

und ist

punktsymmetrisch zum Mittelpunkt.

Insgesamt hat die Symmetriegruppe des Oktaeders – die Oktaedergruppe oder Würfelgruppe – 48 Elemente.

Konstruktion

Datei:01 Oktaeder-Konstruktion.png

Oktaeder, Konstruktionsskizze

Euklid beschreibt und beweist im dreizehnten Buch seines Werkes Elemente, unter Proposition 14, die Konstruktion des Oktaeders.

Vorlage:Zitat Um den Aufwand zu minimieren, enthält die folgende sphärischen Darstellung nur die Schritte, die für das Oktaeder vonnöten sind. Von Vorteil ist hierzu die Anwendung einer sogenannten Dynamische-Geometrie-Software (DGS).

Gegeben sei eine Umkugel, z. B mit dem Radius gleich $1$ und deren Mittelpunkt $O$ . Beim Bestimmen der $x -, y -$ und $z -$ Achsen eines kartesischen Koordinatensystems ergeben sich die Punkte $A, B C$ und $D$ auf der Oberfläche der Umkugel.

Vorab ist die Kantenlänge $a$ des Oktaeders als Verbindung des Punktes $A$ mit $C$ , sprich $| A C | = a$ , festzulegen.^[4]

Für die eigentliche Konstruktion reichen vier Hauptschritte aus. Es beginnt mit dem Ziehen des ersten Kreises mit Richtung $z -$ Achse um Mittelpunkt $O$ und Radius $| A O |$ . Anschließend wird der erste Eckpunkt $E$ beliebig auf dem Kreis positioniert. Der darauffolgende zweite (nicht eingezeichnete) Kreis mit Richtung parallel zur $z -$ Achse und Radius gleich der Kantenlänge $| C F |$ um $E$ , erzeugt die Eckpunkte $F$ und $H$ . Der dritte und letzte Kreis mit gleichem Radius und gleicher Richtung um $F$ liefert den noch offenen Eckpunkt $G$ . Nach dem abschließenden Verbinden der betreffenden Eckpunkte ist das Oktaeder $E F G H C D$ fertiggestellt.

Beziehungen zu anderen Polyedern

Datei:Sterntetraeder im Würfel.svg

Bild 2: Zwei regelmäßige Tetraeder in einem Würfel einbeschrieben ergeben ein Sterntetraeder

Datei:01 Oktaeder-umschreibt Würfel.svg

Bild 1: Oktaeder (blau) mit dualem Würfel (grün). Die Mittelpunkte (rot) der regelmäßigen Dreiecke sind die Ecken des Würfels.

Das Oktaeder ist das zum Hexaeder (Würfel) duale Polyeder (Bild 1) und umgekehrt.

Zwei regelmäßige Tetraeder (siehe Bild 2: ein Tetraeder in Rottönen, das andere in Grüntönen) können in einem Würfel so einbeschrieben werden, dass die Ecken zugleich Würfelecken und die Kanten Diagonalen der Würfelflächen sind. Die Vereinigungsmenge ist ein Sterntetraeder.

Die dreidimensionale Schnittmenge der zwei Tetraeder (Bild 3) ist ein Oktaeder mit halber Seitenlänge. Setzt man auf die 8 Seitenflächen des Oktaeders Tetraeder auf, entsteht ebenfalls ein Sterntetraeder.

Wird ein Oktaeder von einem regelmäßigen Tetraeder umschrieben (Bild 4), sind die 6 Ecken des Oktaeders die Mittelpunkte der 6 Tetraederkanten und liegen 4 der 8 Oktaederflächen in den Seitenflächen eines der beiden möglichen Tetraeder. Das Oktaeder entsteht also, wenn von einem Tetraeder mit doppelter Kantenlänge 4 Tetraeder mit derselben Seitenlänge abgeschnitten werden.

Mithilfe von Oktaeder und Würfel können zahlreiche Körper konstruiert werden, die ebenfalls die Oktaedergruppe als Symmetriegruppe haben. So erhält man zum Beispiel

das abgestumpfte Oktaeder mit 8 Sechsecken und 6 Quadraten
das Kuboktaeder mit 8 Dreiecken und 6 Quadraten, also mit 14 Flächen, und 12 Ecken
den abgestumpften Würfel mit 8 Dreiecken und 6 Achtecken

als Durchschnitte eines Oktaeders mit einem Würfel (siehe archimedische Körper) und

das Rhombendodekaeder mit 8 + 6 = 14 Ecken und 12 Rauten als Flächen

als konvexe Hülle einer Vereinigung eines Oktaeders mit einem Würfel.

Datei:Oktaeder im Tetraeder.svg

Bild 3: Zwei Tetraeder im Würfel haben als dreidimensionale Schnittmenge ein Oktaeder mit halber Seitenlänge.

Fehler beim Erstellen des Vorschaubildes:

Bild 4: Ein regelmäßiges Tetraeder mit doppelter Seitenlänge umschreibt ein Oktaeder. Die 6 Ecken des Oktaeders sind dann die Mittelpunkte der 6 Tetraederkanten.

 Vorlage:Absatz

Formeln

Die folgende Tabelle ist eine Zusammenstellung von metrischen Eigenschaften eines regulären Oktaeders, die im nächsten Abschnitt hergeleitet werden.

Größen eines Oktaeders mit Kantenlänge a
Volumen	$V = \frac{\sqrt{2}}{3} a^{3} \approx 0, 471 \cdot a^{3}$	Datei:01 Oktaeder-Größen.png ohne Raumwinkel $Ω$ in den Ecken
Oberflächeninhalt	$A_{O} = 2 \sqrt{3} a^{2} \approx 3, 464 \cdot a^{2}$
Umkugelradius	$r_{u} = \frac{a}{\sqrt{2}} \approx 0, 707 \cdot a$
Kantenkugelradius	$r_{k} = \frac{a}{2} = 0, 5 \cdot a$
Inkugelradius	$r_{i} = \frac{a}{\sqrt{6}} \approx 0, 408 \cdot a$
Verhältnis von Volumen zu Umkugelvolumen	$\frac{V}{V_{U K}} = \frac{1}{π} \approx 0, 318$
Innenwinkel des gleichseitigen Dreiecks	$α = 6 0^{\circ}$
Winkel zwischen benachbarten Flächen	$β = 2 \arctan \sqrt{2} \approx 109, 4 7^{\circ}$
Winkel zwischen Grundfläche und Seitenfläche	$γ = \arctan \sqrt{2} \approx 54, 7 3^{\circ}$
Raumwinkel in den Ecken	$Ω = 8 \arctan \sqrt{2} - 2 π \approx 1, 35935 s r$
Sphärizität	$Ψ = \sqrt[3]{\frac{π}{3 \sqrt{3}}} \approx 0, 846$

Flächen, Winkel, Radien, Koordinaten

Punkte des Oktaeders

Datei:Oktaeder-20-10.svg

Regul. Oktaeder

Ein Oktaeder mit der Kantenlänge $a$ kann man sich aus zwei quadratischen Pyramiden mit der Quadratlänge und der Seitenkantenlänge gleich $a$ zusammengesetzt denken. Wendet man den Satz von Pythagoras auf die Höhe $h$ , eine halbe Diagonale der Grundfläche und eine Seitenkante an, ergibt sich

h = \frac{a}{\sqrt{2}}

.

Damit lassen sich die Punkte eines regulären Oktaeders mit der Kantenlänge $a$ in einem kartesischen Koordinatensystem so beschreiben:

$(\pm \frac{a}{2}, \pm \frac{a}{2}, 0), (0, 0, \pm \frac{a}{\sqrt{2}})$

Winkel

Aus der Zeichnung erkennt man, dass für den Winkel $γ$ zwischen der Grundfläche und einer Seitenfläche $\tan γ = \frac{h}{\frac{a}{2}} = \sqrt{2}$ gilt. Also ist der

Datei:Oktaeder-0-0.svg

Regul. Oktaeder: Eigenschaften

Winkel zwischen der Grundfläche und einer Seitenfläche gleich

γ = \arctan \sqrt{2} \approx 54, 7 3^{\circ}

und der

Winkel zwischen zwei Seitenflächen ist

β = 2 γ \approx 109, 4 7^{\circ}

Um-, In- und Kanten-Kugelradien

Die Kugel, die die Kanten des Oktaeders berührt, berührt das Basisquadrat der Pyramide von innen. Also ist der

Kantenkugelradius $r_{k} = \frac{a}{2} = 0, 5 a$

Die Umkugel geht durch alle Oktaederpunkte und es ist der

Umkugelradius $r_{u} = h = \frac{a}{\sqrt{2}} \approx 0, 71 a$

Der Inkugelradius ist (im Bild) der Abstand des Nullpunktes zur Gerade in der y-z-Ebene durch die Punkte $(0, \frac{a}{\sqrt{2}}), (\frac{a}{2}, 0)$ . Sie hat die Gleichung $2 y + \sqrt{2} z - a = 0$ . Berechnet man den Abstand mit Hilfe der Hessesche Normalform ergibt sich der

Innenkugelradius $r_{i} = \frac{a}{\sqrt{6}} \approx 0, 41 a$

Oberfläche, Volumen

Die Oberfläche des Oktaeders ist die Summe der 8 Dreiecksflächen. Die Fläche eines regelmäßigen 3-Ecks ist $A_{3} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^{2}$ . Damit ist die

Oberfläche des Oktaeders: $A_{O} = 2 \sqrt{3} a^{2}$ .

Das Volumen des Oktaeders ist die Summe der Volumina der 2 quadratischen Pyramiden. Das Volumen einer Pyramide ist $\frac{h}{3} a^{2} = \frac{a^{3}}{3 \sqrt{2}}$ und das

Volumen des Oktaeders ist $V = \frac{\sqrt{2}}{3} a^{3}$ .

Raumwinkel in den Ecken

Datei:01 Oktaeder-Raumwinkel.svg

Raumwinkel

Ω

der Oktaederecke mithilfe der Einheitskugel

Der Raumwinkel $Ω$ ist der Flächeninhalt des in dem Bild durch rote Punkte markierten sphärischen Vierecks der Einheitskugel in der Oktaederecke. Betrachtet man nur die obere Hälfte (Pyramide) des Oktaeders, so erhält man ein sphärisches Dreieck, dessen Winkel in den unteren Punkten jeweils gleich dem halben Winkel $γ$ zwischen Seitenflächen des Okteders ist (siehe Bild oben). Der Winkel im oberen Punkt ist gleich dem Winkel $β = 2 γ$ . Damit hat das sphärische Dreieck den Flächeninhalt

A_{3} = γ + γ + 2 γ - π = 4 γ - π

.

Der Raumwinkel $Ω$ ist der Flächeninhalt des sphärischen Vierecks:

Datei:Raumw-oktaeder.svg

Raumwinkel

θ

$Ω = 2 A_{3} = 8 γ - 2 π = 8 \arctan \sqrt{2} - 2 π \approx 1, 35935 s r$ .

Der Raumwinkel entspricht der Fläche eines Kugelsegments auf der Einheitskugel mit einem halben Öffnungswinkel $θ \approx 38, 4^{\circ}$ .

Definition als Menge von Punkten

Das Oktaeder kann als Menge von Punkten im dreidimensionalen euklidischen Raum definiert werden, wo die Summe der absoluten Beträge der 3 Koordinaten im kartesischen Koordinatensystem höchstens so groß ist wie der Umkugelradius $r_{u} = \frac{a}{\sqrt{2}}$ . Formal lässt sich diese Menge aufschreiben als

{x \in ℝ^{3} ∣ {‖ x ‖}_{1} \leq r_{u}} = {(x_{1}, x_{2}, x_{3}) ∣ | x_{1} | + | x_{2} | + | x_{3} | \leq r_{u}}

Dabei ist ${‖ x ‖}_{1}$ die Betragssummennorm oder 1-Norm des Vektors $x$ . Für das Innere des Oktaeders gilt ${‖ x ‖}_{1} < r_{u}$ und für die Oberfläche gilt ${‖ x ‖}_{1} = r_{u}$ . Nach dieser Definition ist der Mittelpunkt des Oktaeders der Koordinatenursprung und seine Ecken $(r_{u}, 0, 0)$ , $(- r_{u}, 0, 0)$ , $(0, r_{u}, 0)$ , $(0, - r_{u}, 0)$ , $(0, 0, r_{u})$ , $(0, 0, - r_{u})$ liegen auf den 3 Achsen des kartesischen Koordinatensystems.

Allgemeiner kann ein Oktaeder, das eine beliebige Lage im dreidimensionalen euklidischen Raum hat, mithilfe von Vektoren definiert werden. Ist $\vec{m}$ der Ortsvektor des Mittelpunkts und sind $\vec{u}$ , $\vec{v}$ , $\vec{w}$ orthogonale Richtungsvektoren, die den Mittelpunkt des Oktaeders mit 3 Ecken verbinden, also ein Orthogonalsystem des dreidimensionalen Vektorraums $ℝ^{3}$ , dann lässt sich die Menge der Punkte des Oktaeders definieren als die Menge der Vektoren^[5]

{\vec{m} + t_{1} \cdot \vec{u} + t_{2} \cdot \vec{v} + t_{3} \cdot \vec{w} \in ℝ^{3} ∣ {‖ t ‖}_{1} \leq r_{u}} = {\vec{m} + t_{1} \cdot \vec{u} + t_{2} \cdot \vec{v} + t_{3} \cdot \vec{w} \in ℝ^{3} ∣ | t_{1} | + | t_{2} | + | t_{3} | \leq r_{u}}

Verallgemeinerung

Die Analoga des Oktaeders in beliebiger Dimension $n$ werden als $n$ -dimensionale Kreuzpolytope bezeichnet und sind ebenfalls reguläre Polytope. Das $n$ -dimensionale Kreuzpolytop hat $2 \cdot n$ Ecken und wird von $2^{n}$ $n - 1$ -dimensionalen Simplexen (als Facetten) begrenzt. Das vierdimensionale Kreuzpolytop hat 8 Ecken, 24 gleich lange Kanten, 32 gleichseitige Dreiecke als Seitenflächen und 16 Tetraeder als Facetten. Das eindimensionale Kreuzpolytop ist eine Strecke, das zweidimensionale Kreuzpolytop ist das Quadrat, das dreidimensionale Kreuzpolytop ist das Oktaeder.

Ein Modell für das $n$ -dimensionale Kreuzpolytop ist die Einheitskugel bezüglich der Summennorm

{‖ x ‖}_{1} = | x_{1} | + \dots + | x_{n} |

für

x = (x_{1}, \dots, x_{n}) \in ℝ^{n}

im Vektorraum $ℝ^{n}$ . Und zwar ist das (abgeschlossene) Kreuzpolytop daher

die Menge

{x \in ℝ^{n} ∣ {‖ x ‖}_{1} \leq 1} = {(x_{1}, \dots, x_{n}) ∣ | x_{1} | + \dots + | x_{n} | \leq 1}

.

die konvexe Hülle der $2 \cdot n$ Eckpunkte $\pm e_{i}$ , wobei $e_{i}$ die Einheitsvektoren sind.
der Durchschnitt der $2^{n}$ Halbräume, die durch die Hyperebenen der Form

\pm x_{1} \pm \dots \pm x_{n} = 1

bestimmt werden und den Ursprung enthalten.

Das Volumen des $n$ -dimensionalen Kreuzpolytops beträgt $\frac{(2 \cdot r)^{n}}{n!}$ , wobei $r > 0$ der Radius der Kugel um den Koordinatenursprung bezüglich der Summennorm ist. Die Beziehung lässt sich mittels Rekursion und dem Satz von Fubini beweisen.^[6]

Netze des Oktaeders

Das Oktaeder hat elf Netze^[7]. Das heißt, es gibt elf Möglichkeiten, ein hohles Oktaeder durch Aufschneiden von 5 Kanten aufzuklappen und in der Ebene auszubreiten. Die anderen 7 Kanten verbinden jeweils die 8 gleichseitigen Dreiecke des Netzes. Um ein Oktaeder so zu färben, dass keine benachbarten Flächen dieselbe Farbe haben, braucht man mindestens 2 Farben.

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Ein Netz des Oktaeders

Datei:Octaedro desarrollo.gif

Animation eines Oktaedernetzes

Vorlage:Absatz

Graphen, duale Graphen, Zyklen, Färbungen

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Färbungen veranschaulicht
Oktaeder einbeschrieben vom dualen Würfel

Das Oktaeder hat einen ihm zugeordneten ungerichteten planaren Graphen mit 6 Knoten, 12 Kanten und 8 Gebieten, der 4-regulär ist, d. h. von jedem Knoten gehen 4 Kanten aus, sodass der Grad für alle Knoten gleich 4 ist. Bei planaren Graphen ist die genaue geometrische Anordnung der Knoten unwesentlich. Wichtig ist allerdings, dass sich die Kanten nicht schneiden müssen. Die Knoten dieses Oktaedergraphen entsprechen den Ecken des Würfel.

Die Knoten des Oktaedergraphen können mit 3 Farben so gefärbt werden, dass benachbarte Knoten immer unterschiedlich gefärbt sind. Dies bedeutet, dass die chromatische Zahl dieses Graphen gleich 3 ist. Außerdem können die Kanten mit 4 Farben so gefärbt werden, dass benachbarte Kanten immer unterschiedlich gefärbt sind. Mit 3 Farben ist das nicht möglich, sodass der chromatische Index für die Kantenfärbung gleich 4 ist (das nebenstehende Bild veranschaulicht diese Färbungen).

Um die entsprechende nötige Anzahl der Farben für die Flächen oder Gebiete zu bestimmen, ist der duale Graph (Würfelgraph) mit 8 Knoten, 12 Kanten und 6 Gebieten hilfreich. Die Knoten dieses Graphen werden dabei den Gebieten des Oktaedergraphen eineindeutig (bijektiv) zugeordnet und umgekehrt (siehe bijektive Funktion und Abbildung oben). Die Knoten des Würfelgraphen können mit 2 Farben so gefärbt werden, dass benachbarte Knoten immer unterschiedlich gefärbt sind, sodass die chromatische Zahl des Würfelgraphen gleich 2 ist. Daraus lässt sich indirekt schließen: Weil die chromatische Zahl gleich 2 ist, sind 2 Farben für eine solche Flächenfärbung des Oktaeders oder eine Färbung der Gebiete des Oktaedergraphen nötig.^[8]

Datei:01 Octahedral graph vertex coloring.svg

Knotenfärbung des Oktaedergraphen

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Kantenfärbung des Oktaedergraphen

Datei:01 Octahedral graph dual face coloring.svg

Flächenfärbung des Oktaedergraphen mit dualer Knotenfärbung des Würfelgraphen

Vorlage:Absatz

Die 5 aufgeschnittenen Kanten jedes Netzes (siehe oben) bilden zusammen mit den Ecken (Knoten) einen Spannbaum des Oktaedergraphen. Jedes Netz entspricht genau einem Spannbaum und umgekehrt, sodass hier eine eineindeutige (bijektive) Zuordnung zwischen Netzen und Spannbäumen besteht. Wenn man ein Oktaedernetz ohne das äußere Gebiet als Graphen betrachtet, erhält man als dualen Graphen jeweils einem Baum mit 8 Knoten und 7 Kanten und dem maximalen Knotengrad 3. Jede Fläche des Oktaeders wird dabei einem Knoten des Baums zugeordnet. Dabei kommt nicht jede graphentheoretische Konstellation (siehe Isomorphie von Graphen) solcher Bäume vor, aber einige mehrfach.

Der Oktaedergraph besitzt 32 Hamiltonkreise und 1488 Eulerkreise.^[9]

Datei:01 Octahedral graph-Hamilton circle.svg

Oktaedergraph mit einem der 32 Hamiltonkreise

Vorlage:Absatz

Raumfüllungen mit Oktaedern

Der dreidimensionale euklidische Raum kann lückenlos mit platonischen Körpern oder archimedischen Körpern gleicher Kantenlänge ausgefüllt werden kann. Solche dreidimensionalen Parkettierungen werden Raumfüllung genannt. Die folgenden Raumfüllungen enthalten Oktaeder:

Raumfüllung mit Oktaeder und Tetraeder
Raumfüllung mit Kuboktaeder und Oktaeder
Raumfüllung mit Hexaederstumpf und Oktaeder

Anwendungen

Datei:Gerades-Oktaeder-Gerüst.JPG

Gerades Oktaeder-Gerüst um einen Zylinder

In der Chemie können sich bei der Vorhersage von Molekülgeometrien nach dem VSEPR-Modell oktaedrische Moleküle ergeben. Auch in Kristallstrukturen, wie der kubisch flächenzentrierten Natriumchlorid-Struktur (Koordinationszahl 6), taucht das Oktaeder in der Elementarzelle auf, genauso in der Komplexchemie, falls sich 6 Liganden um ein Zentralatom lagern.

Einige in der Natur vorkommende Minerale, z. B. das Alaun und auch Diamant, kristallisieren in oktaedrischer Form aus.

In Rollenspielen werden oktaedrische Spielewürfel verwendet und dort als „W8“, also als Würfel mit 8 Flächen, bezeichnet.

Siehe auch

Weblinks

Vorlage:Commonscat Vorlage:Wiktionary

Euklid: Stoicheia. Buch XIII.14. Oktaeder einer Kugel ...
Oktaeder. – Mathematische Basteleien

Einzelnachweise

↑ Vorlage:Internetquelle
↑ Vorlage:Internetquelle
↑ Vorlage:Literatur
↑ Euklid, deutsch Rudolf Haller: Stoicheia. Buch XIII.18., S. 24
↑ Susumu Onaka, Department of Materials Science and Engineering, Tokyo Institute of Technology: Simple equations giving shapes of various convex polyhedra: the regular polyhedra and polyhedra composed of crystallographically low-index plane
↑ Martin Henk, Jürgen Richter-Gebert, Günter M. Ziegler, Technische Universität Berlin: Basic properties of convex polytopes
↑ Vorlage:Internetquelle
↑ Vorlage:Internetquelle
↑ Vorlage:Internetquelle

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[1] Vorlage:Internetquelle

[2] Vorlage:Internetquelle

[3] Vorlage:Literatur

[4] Euklid, deutsch Rudolf Haller: Stoicheia. Buch XIII.18., S. 24

[5] Susumu Onaka, Department of Materials Science and Engineering, Tokyo Institute of Technology: Simple equations giving shapes of various convex polyhedra: the regular polyhedra and polyhedra composed of crystallographically low-index plane

[6] Martin Henk, Jürgen Richter-Gebert, Günter M. Ziegler, Technische Universität Berlin: Basic properties of convex polytopes

[7] Vorlage:Internetquelle

[8] Vorlage:Internetquelle

[9] Vorlage:Internetquelle

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Oktaeder

Inhaltsverzeichnis

Symmetrie

Konstruktion

Beziehungen zu anderen Polyedern

Formeln