Neunzehneck

Regelmäßiges Neunzehneck

Ein Neunzehneck, auch als Nonadekagon bezeichnet (Vorlage:EnS auch enneadecagon, enneakaidecagon), ist ein Polygon mit 19 Seiten und 19 Ecken. Oft ist dabei – wie im Folgenden ausschließlich beschrieben – ein ebenes, regelmäßiges Neunzehneck gemeint bei dem alle Seiten gleich lang sind und alle Eckpunkte auf einem gemeinsamen Umkreis liegen.

Regelmäßiges Neunzehneck

Das regelmäßige Neunzehneck ist nach Carl Friedrich Gauß und Pierre-Laurent Wantzel kein konstruierbares Polygon, denn seine Seitenanzahl $n=19$ ist kein Produkt einer Zweierpotenz mit paarweise voneinander verschiedenen Fermatschen Primzahlen.

Größen

Größen eines regelmäßigen Neunzehnecks
Innenwinkel	$\begin{array}{cc}\alpha & =\frac{n-2}{n}\cdot 180^{\circ }=\frac{17}{19}\cdot 180^{\circ }\\ \alpha & =161,\stackrel{\circ }{\overline{052631578947368421}}\end{array}$
Zentriwinkel (Mittelpunktswinkel)	$\begin{array}{cc}\mu & =\frac{360^{\circ }}{19}\\ \mu & =18,\stackrel{\circ }{\overline{947368421052631578}}\end{array}$
Seitenlänge	$\begin{array}{cc}a& =R\cdot 2\cdot \sin \left(\frac{180^{\circ }}{19}\right)\\ a& \approx 0,329189\cdot R\end{array}$
Umkreisradius	$\begin{array}{cc}R& =\frac{a}{2\cdot \sin \left(\frac{180^{\circ }}{19}\right)}\\ R& \approx \frac{a}{0,329189}\end{array}$
Inkreisradius	$\begin{array}{cc}r& =R\cdot \cos \left(\frac{180^{\circ }}{19}\right)\\ r& \approx 0,986361\cdot R\end{array}$
Höhe	$\begin{array}{cc}h& =R+r=R\cdot (1+\cos \left(\frac{180^{\circ }}{19}\right))\\ h& \approx 1,986361\cdot R\end{array}$
Flächeninhalt	$\begin{array}{cc}A& =19\cdot R^2\cdot \sin \left(\frac{180^{\circ }}{19}\right)\cdot \cos \left(\frac{180^{\circ }}{19}\right)\\ A& \approx 3,084645\cdot R^2\end{array}$

Mathematische Zusammenhänge

Innenwinkel

Der Innenwinkel $\alpha$ wird von zwei benachbarten Seiten der Länge $a$ eingeschlossen.

$\alpha =\frac{n-2}{n}\cdot 180^{\circ }=\frac{19-2}{19}\cdot 180^{\circ }=\frac{17}{19}\cdot 180^{\circ }={\left(161\frac{1}{19}\right)}^{\circ }$

Zentriwinkel

Der Zentriwinkel oder Mittelpunktswinkel $\mu$ wird von zwei benachbarten Umkreisradien der Länge $R$ eingeschlossen.

$\mu =\frac{360^{\circ }}{n}=\frac{360^{\circ }}{19}={\left(18\frac{18}{19}\right)}^{\circ }$

Seitenlänge

Die Seitenlänge $a$ errechnet sich zu

$a=R\cdot 2\cdot \sin \left(\frac{180^{\circ }}{19}\right)$.

Umkreisradius

Der Radius $R$ des Umkreises ergibt sich durch Umformen der Formel für die Seitenlänge $a$ zu

$R=\frac{a}{2}\cdot \csc \left(\frac{180^{\circ }}{19}\right)$.

Inkreisradius

Der Inkreisradius $r$ ist die Höhe eines gleichschenkligen Teildreiecks mit den beiden Schenkeln gleich dem Umkreisradius $R$ und der Grundlinie gleich der Seitenlänge $a$:

$\begin{array}{cc}r& =R\cdot \cos \left(\frac{\mu }{2}\right)=R\cdot \cos \left(\frac{180^{\circ }}{19}\right)\end{array}$

Höhe

Die Höhe $h$ eines regelmäßigen Neunzehneckes ergibt sich aus der Summe von Inkreisradius $r$ und Umkreisradius $R$:

$h=R+r=R+R\cdot \cos \left(\frac{180^{\circ }}{19}\right)=R\cdot (1+\cos \left(\frac{180^{\circ }}{19}\right))$

Flächeninhalt

Der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet sich allgemein zu $A_{\mathrm{\Delta }}=\frac{1}{2}a\cdot h_a$. Für die Berechnung des Neunzehnecks werden die Ergebnisse der Seitenlänge $a$ und des Inkreisradius $r$ herangezogen, worin $r$ für die Höhe $h_a$ eingesetzt wird:

$a=R\cdot 2\cdot \sin \left(\frac{180^{\circ }}{19}\right),$

$h_a=r=R\cdot \cos \left(\frac{180^{\circ }}{19}\right),$ daraus folgt für die Fläche eines Teildreiecks

$A_{\mathrm{\Delta }}=\frac{1}{2}\cdot R\cdot 2\cdot \sin \left(\frac{180^{\circ }}{19}\right)\cdot R\cdot \cos \left(\frac{180^{\circ }}{19}\right),$ zusammengefasst ergibt sich

$A_{\mathrm{\Delta }}=R^2\cdot \sin \left(\frac{180^{\circ }}{19}\right)\cdot \cos \left(\frac{180^{\circ }}{19}\right)$ und für die Fläche des ganzen Neunzehnecks

$A=19\cdot A_{\mathrm{\Delta }}=19\cdot R^2\cdot \sin \left(\frac{180^{\circ }}{19}\right)\cdot \cos \left(\frac{180^{\circ }}{19}\right).$

Geometrische Konstruktionen

Ein regelmäßiges Neunzehneck ist nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar. Verwendet man jedoch ein zusätzliches Hilfsmittel wie z. B. den Tomahawk zur exakten Dreiteilung (Trisektion) eines Winkels oder ein spezielles Kurvenlineal mit der Kurvenform der archimedischen Spirale bzw. der Quadratrix des Hippias für die Teilung des 90-Grad-Winkels in $n$ gleich große Winkelweiten, ist eine exakte Lösung machbar.

Um den Tomahawk für die Bestimmung des Zentriwinkels nutzen zu können, bedarf es dafür zuerst einer evtl. komplizierten Konstruktion mindestens einer geeigneten Winkelweite, wie im Beispiel Dreizehneck von Andrew M. Gleason zu sehen ist.

Dagegen bietet sowohl die archimedische Spirale als auch die Quadratrix des Hippias einen einfachen und kurzen Weg – er führt über die Teilung einer Strecke in $n$ gleich lange Teile und die anschließende Projektion von vier dieser Teile in die gewählte Kurve − zum Auffinden des gesuchten Zentriwinkels.

Quadratrix des Hippias als zusätzliches Hilfsmittel

Bild 1: Regelmäßiges Neunzehneck mit vorgegebenem Umkreis als exakte Konstruktion mit der Quadratrix des Hippias als zusätzlichem Hilfsmittel

Die Konstruktion (Bild 1) ist nahezu gleich der des Elfecks.

Nach dem Zeichnen des Quadrates z. B. mit der Seitenlänge $1$ und der Konstruktion der speziellen Kurve, der sogenannten Quadratrix des Hippias, mit der Parameterdarstellung $\gamma :(-\pi ,\pi )\to {ℝ}^2$:

$\gamma (t)=\left(\begin{array}{c}x(t)\\ y(t)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}t\cot \left(\frac{\pi }{2}t\right)\\ t\end{array}\right),0\le t\le 1$

wird die Strecke $\overline{CO}$ in neunzehn gleich lange Abschnitte mithilfe der Streckenteilung geteilt. Aus Gründen der Übersichtlichkeit sind in der Zeichnung nur die relevanten Punkte dargestellt.

Der Zentriwinkel des Neunzehnecks ergibt sich aus $\mu =\frac{360^{\circ }}{19},$ aber die Quadratrix des Hippias unterteilt nur die Winkel ab $>0^{\circ }$ bis $\le 90^{\circ }$ in gleich große Winkel. Daraus folgt, ein Neunzehntel der Strecke $\overline{CO}$ kann nur ein Neunzehntel des Winkels $90^{\circ }$ erzielen. Deshalb wird wegen der Berechnung des Zentriwinkels $\mu$ aus dem Umkreis mit seinen $360^{\circ }$ das Vierfache eines Neunzehntels, d. h. der Teilungspunkt $4^{\prime }$ der Strecke $\overline{CO},$ zur Konstruktion des Zentriwinkels $\mu$ genutzt. Dieser entsteht nach der Konstruktion einer Parallelen zu $\overline{A_{1}O}$ ab $4^{\prime }$ bis zur Kurve der Quadratrix, dabei ergibt sich der Punkt $D$. Nun zieht man eine Halbgerade ab dem Winkelscheitel $O$ durch $D$ bis zum Umkreis.

Somit ergibt sich der Zentriwinkel $\mu$ und auf dem Umkreis der zweite Eckpunkt $A_2$. Die Länge der Strecke $\overline{A_1{A}_2}$ ist die exakte Seitenlänge $a$ des regelmäßigen Neunzehnecks.

Näherungskonstruktion

Bild 3: Neunzehneck, Variante der Näherungskonstruktion mit einer universellen Methode, siehe ⇒ Animation

Bild 2: Neunzehneck, Näherungskonstruktion mit einer universellen Methode

Bild 2 zeigt ein Neunzehneck in seinem Umkreis, erstellt mit einer universellen Methode.

Zuerst wird der Durchmesser $\overline{AB}$ in $19$ gleich lange Teile mithilfe des Strahlensatzes geteilt (in der Zeichnung nicht dargestellt) oder mittels Aneinanderreihen von $19$ gleich langen Abständen bestimmt. Nun werden entweder die geraden oder die ungeraden Zahlen (Teilungspunkte) auf dem Durchmesser $\overline{AB}$ markiert. In diesem Beispiel sind die geraden Zahlen $2,4,6,8,10,12,14,16$ und $18$ eingetragen. Die anschließende Halbierung von $\overline{AB}$ erfolgt mithilfe der zwei Kreisbögen um $A$ bzw. $B$ mit dem Radius $\overline{AB}$. Die Kreisbögen schneiden sich in den Punkten $C$ und $D.$ Durch deren Verbindung erhält man den Mittelpunkt $O$ und die Mittelachse $CD$.

Nach dem Einzeichnen des Umkreises um $O$ durch $A$ geht es weiter mit dem Festlegen der Eckpunkte auf dem Umkreis. Das Lineal wird an den Punkt $C$ und an die gerade Zahl $2$ gelegt. Danach am Lineal entlang eine kurze Linie durch die gegenüberliegende Hälfte der Umkreislinie gezogen, ergibt den Eckpunkt $E_1$ des entstehenden Neunzehnecks. Diese Vorgehensweise wiederholt sich beim Bestimmen der Eckpunkte $E_2,\dots ,E_9.$ Sie wird fortgesetzt, jetzt ausgehend vom Punkt $D,$ bis die restlichen Eckpunkte $E_{10},\dots ,E_{18}$ gefunden sind. Abschließend werden die benachbarten Eckpunkte miteinander verbunden.

Das Besondere an dieser Methode ist, neun Seiten des Neunzehnecks haben paarweise die gleiche Länge, z. B. die Seiten $\overline{E_1{E}_2}$ und $\overline{E_{17}{E}_{18}}$. Die Seite $\overline{E_9{E}_{10}}$ hat eine von den anderen unterschiedliche Länge.

Größter, zweitkleinster und kleinster absoluter Fehler der Seitenlängen des Neunzehnecks bei einem Umkreisradius mit $R=1\mathrm{m}$:

$\approx 19,2\mathrm{m}\mathrm{m}$ bei $\overline{E_9{E}_{10}}$

$\approx -1,25\mathrm{m}\mathrm{m}$ bei $\overline{E_3{E}_4}$ und $\overline{E_{15}{E}_{16}}$

$\approx 1,11\mathrm{m}\mathrm{m}$ bei $\overline{E_4{E}_5}$ und $\overline{E_{14}{E}_{15}}$

Sieht man sich die beiden betragsmäßig kleinsten absoluten Fehler der benachbarten Seiten an, folgt daraus, beide sind nahezu gleich von einer idealen Mitte $0\mathrm{m}\mathrm{m}$ entfernt. Dies bedeutet: Konstruiert man als Näherung (siehe Bild 3) nur die Strecken $\overline{E_3{E}_4}$ (wird $\overline{FG}$ hellbraun) sowie $\overline{E_4{E}_5}$ (wird $\overline{GH}$ hellblau) und bestimmt anschließend das arithmetische Mittel der beiden Strecken, ergibt dies eine Seitenlänge $a$ des Neunzehnecks mit einer Abweichung von rund

$\frac{1}{2}\cdot (-1,25\mathrm{m}\mathrm{m}+1,11\mathrm{m}\mathrm{m})=-0,07\mathrm{m}\mathrm{m}$.

Oder anders gesagt, bei einem Umkreisradius $R=100\mathrm{m}$ beträgt die Abweichung der konstruierten ersten Seite $\approx 7\mathrm{m}\mathrm{m}$.

Vorkommen

Erlöserkirche in Ani

Vorlage:Doppeltes Bild Die Kirche befindet sich im Osten des Ortes Ani, der Hauptstadt des ehemaligen Königreichs Armenien, im äußersten Osten der heutigen Türkei in der Provinz Kars an der Grenze zu Armenien.

Auf der Website VirtualANI.org ist die Architektur der Kirche so beschrieben (freie Übersetzung):

Regelmäßige überschlagene Neunzehnecke

Ein regelmäßiges überschlagenes Neunzehneck ergibt sich, wenn beim Verbinden der neunzehn Eckpunkte jedes Mal mindestens einer übersprungen wird und die somit erzeugten Sehnen gleich lang sind. Notiert werden solche regelmäßigen Sterne mit Schläfli-Symbolen $\{n/k\}$, wobei $n$ die Anzahl der Eckpunkte angibt und jeder $k$-te Punkt verbunden wird.

In der folgenden Galerie sind die acht möglichen regelmäßigen Neunzehnstrahlsterne, auch Enneadekagramme genannt, dargestellt.

• Regelmäßige Neunzehnstrahlsterne
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  $\{19/2\},\{19/17\}$
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  $\{19/3\},\{19/16\}$
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  $\{19/4\},\{19/15\}$
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  $\{19/5\},\{19/14\}$
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  $\{19/6\},\{19/13\}$
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  $\{19/7\},\{19/12\}$
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  $\{19/8\},\{19/11\}$
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  $\{19/9\},\{19/10\}$

Literatur

• H. Maser: Die Teilung des Kreises …, Artikel 365. In: Carl Friedrich Gauss’ Untersuchungen über höhere Arithmetik. Verlag von Julius Springer, Berlin 1889; Göttinger Digitalisierungszentrum, Universität Göttingen; abgerufen am 15. März 2018.

Weblinks

• Neunzehneck, optimierte Näherungskonstruktion mit einer universellen Methode