Milnor-Wood-Ungleichung

Im mathematischen Gebiet der Differentialgeometrie gibt die Milnor-Wood-Ungleichung ein Hindernis für die Existenz eines flachen Zusammenhangs auf einem Faserbündel.

Sätze von Milnor und Wood

Die klassische Milnor-Wood-Ungleichung betrifft (orientierte) flache Kreisbündel über einer Fläche $\mathrm{\Sigma }$, deren Monodromie also durch einen Homomorphismus $\rho :{\pi }_1\mathrm{\Sigma }\to Home{o}^{+}(S^1)$ gegeben ist. Eine stärkere Ungleichung erhält man für lineare flache Kreisbündel, also mit Monodromie $\rho :{\pi }_1\mathrm{\Sigma }\to SL(2,ℝ)$

Satz (Milnor): Sei $\mathrm{\Sigma }$ eine geschlossene, orientierbare Fläche vom Geschlecht $g$. Für die Eulerklasse eines linearen flachen Kreisbündels $\pi :E\to \mathrm{\Sigma }$ über $\mathrm{\Sigma }$ gilt

$|eu(E)|\le g-1$.

Insbesondere hat das Tangentialbündel einer geschlossenen, orientierbaren Fläche vom Geschlecht $g\ge 2$ keinen flachen Zusammenhang.

Satz (Wood): Sei $\mathrm{\Sigma }$ eine geschlossene, orientierbare Fläche vom Geschlecht $g$. Für die Euler-Klasse eines flachen Kreisbündels $\pi :E\to \mathrm{\Sigma }$ über $\mathrm{\Sigma }$ gilt

$|eu(E)|\le 2g-2$.

Der Satz von Milnor folgt aus dem Satz von Wood, weil man zu einer Darstellung ${\pi }_1\mathrm{\Sigma }\to SL(2,ℝ)$ vermöge der 2-fachen Überlagerung $SL(2,ℝ)\to PSL(2,ℝ)$ eine Darstellung ${\pi }_1\mathrm{\Sigma }\to PSL(2,ℝ)\subset Home{o}^{+}(S^1)$ bekommt, deren Eulerzahl gerade die Hälfte der Eulerzahl der ursprünglichen Darstellung ist.

Aus dem Satz von Goldman folgt, dass die Darstellungen $\rho :{\pi }_1\mathrm{\Sigma }\to PSL(2,ℝ)$ mit $eu(E_{\rho })=\pm (2g-2)$ genau die diskreten und treuen Darstellungen sind.

Beschränkte Kohomologie

Die Beweise von Milnor und Wood benutzten Abschätzungen für Kommutatoren in $SL(2,ℝ)$ bzw. $Home{o}^{+}(S^1)$. Ein einfacherer auf Ghys und Jekel zurückgehender Beweis benutzt beschränkte Kohomologie: die universelle Eulerklasse in $H^2(Home{o}^{+}(S^1);ℝ)$ lässt sich durch einen beschränkten Kozykel der Norm 1/2 repräsentieren.

Verallgemeinerungen

Höherdimensionale Bündel

Satz (Sullivan-Smillie): Für die Euler-Klasse eines flachen $G{L}^{+}(n,ℝ)$-Bündels $\pi :E\to M$ über einer geschlossenen, orientierbaren Mannigfaltigkeit $M$ gilt die Ungleichung

$|eu(E)|\le \frac{1}{2^n}\parallel M\parallel$

für die Eulerklasse $eu(E)$ und das simpliziale Volumen $\parallel M\parallel$.

Man sagt, dass eine Mannigfaltigkeit $M$ der Milnor-Wood-Ungleichung mit Konstante $MW(M)\in ℝ$ genügt, wenn für jedes flache $G{L}^{+}(n,ℝ)$-Bündel die Ungleichung

$|eu(E)|\le MW(M)|\xi (M)|$

für die Eulerklasse $eu(E)$ und die Euler-Charakteristik $\chi (M)$ gilt. Aus dem Satz von Milnor folgt $MW({\mathrm{\Sigma }}_g)=\frac{1}{2}$ und aus einem Satz von Bucher-Gelander $MW(M_1\times M_2)=MW(M_1)MW(M_2)$.

Toledo-Invariante

Sei $X=G/K$ ein Hermitescher symmetrischer Raum nichtkompakten Typs vom Rang $p$ und $\omega$ die Kählerform der Bergman-Metrik. Dann gilt für eine stetige Abbildung $f:\mathrm{\Sigma }\to X$ einer Fläche $\mathrm{\Sigma }$ vom Geschlecht $g$ die Ungleichung

$|\underset{\mathrm{\Sigma }}{\int }{f}^{*}\omega |\le 4p(g-1)\pi$.

Diese Ungleichung lässt sich interpretieren als Abschätzung für die Norm der Kählerklasse (und damit der Toledo-Invariante) in beschränkter Kohomologie. Sie verallgemeinert die Abschätzung der Eulerklasse für $G/K=SL(2,ℝ)/SO(2)$.

Literatur

• J. Milnor: On the existence of a connection of curvature zero, Comm. Math. Helv. 21, 215–223 (1958)
• J. Wood: Bundles with totally disconnected structure group, Comm. Math. Helv. 46, 257–273 (1971)
• W. Goldman: Topological components of spaces of representations, Invent. Math. 93, 557–607 (1988)
• M. Burger, A. Iozzi, A. Wienhard: Surface group representations with maximal Toledo invariant, Ann. Math. 172, 517–566 (2010)
• T. Hartnick, A. Ott: Milnor-Wood type inequalities for Higgs bundles, online (PDF; 383 kB)