Diskrete Untergruppe

In der Mathematik spielen diskrete Untergruppen topologischer Gruppen eine wichtige Rolle in Topologie, Differentialgeometrie und Theorie der Lie-Gruppen.

Definition

Sei $G$ eine topologische Gruppe. Eine Untergruppe $\mathrm{\Gamma }$ heißt diskret, wenn die induzierte Unterraumtopologie die diskrete Topologie ist, also alle Elemente isoliert sind: in einer hinreichend kleinen Umgebung eines beliebigen Elements $\gamma \in \mathrm{\Gamma }$ liegen keine weiteren Elemente von $\mathrm{\Gamma }$.

Eine Darstellung $\rho :\mathrm{\Gamma }\to GL(n,ℂ)$ einer (abstrakten) Gruppe $\mathrm{\Gamma }$ heißt diskret, wenn das Bild $\rho (\mathrm{\Gamma })$ eine diskrete Untergruppe von $GL(n,ℂ)$ ist.

Beispiele

• $\mathbb{Z}\subset ℝ$ ist eine diskrete Untergruppe
• $\mathbb{Z}\subset ℂ$ ist eine diskrete Untergruppe
• $\mathbb{Q}\subset ℂ$ ist keine diskrete Untergruppe
• $GL(n,\mathbb{Z})\subset GL(n,ℝ)$ ist eine diskrete Untergruppe

Eigenschaften

Eine diskrete Untergruppe einer Hausdorffschen topologischen Gruppe ist stets abgeschlossen.

Gitter

Sei $G$ eine lokalkompakte $\sigma$-kompakte topologische Gruppe, $\pi :G\to \mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }G$ die Projektion und $\mu$ das (bis auf einen konstanten Faktor eindeutige) Haarmaß. Für eine diskrete Untergruppe $\mathrm{\Gamma }\subset G$ erzeugt das Haarmaß $\mu$ ein wohldefiniertes Maß ${\mu }_{\mathrm{\Gamma }}$ auf $\mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }G$ wie folgt: für alle Mengen $A\subset G$ mit $A\cap \gamma A=\mathrm{\varnothing }\mathrm{\forall }\gamma \in \mathrm{\Gamma }-\left\{e\right\}$ definieren wir ${\mu }_{\mathrm{\Gamma }}(\pi (A))=\mu (A)$.

Ein Gitter ist eine diskrete Untergruppe $\mathrm{\Gamma }\subset G$, für die es einen Fundamentalbereich endlichen Volumens gibt, oder äquivalent: für die der Quotientenraum $\mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }G$ endliches Volumen (bzgl. des Haarmaßes) hat.

Das Gitter heißt uniform oder kokompakt, wenn $\mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }G$ kompakt ist.

Ein Gitter $\mathrm{\Gamma }\subset G$ heißt reduzibel, wenn sich $G$ als direktes Produkt $G=G_1\times G_2$ zerlegen lässt, so dass es Gitter ${\mathrm{\Gamma }}_1\subset G_1,{\mathrm{\Gamma }}_2\subset G_2$ gibt, für die ${\mathrm{\Gamma }}_1\times {\mathrm{\Gamma }}_2$ eine Untergruppe von endlichem Index in $\mathrm{\Gamma }$ ist. Insbesondere ist $\mathrm{\Gamma }$ dann kein irreduzibles Gitter.

Literatur

• Vorlage:Literatur
• G. A. Margulis: Discrete subgroups of semisimple Lie groups, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3), 17. Springer, Berlin, 1991. ISBN 3-540-12179-X

Weblinks

• Venkataramana: Lattices in Lie groups