Flacher Zusammenhang

In der Mathematik sind flache Zusammenhänge in Geometrie und Eichtheorie von Bedeutung.

Definition

Sei $G$ eine Lie-Gruppe und $\pi :E\to M$ ein $G$-Prinzipalbündel.

Ein flacher Zusammenhang ist ein Zusammenhang $\omega \in {\mathrm{\Omega }}^1(E,𝔤)$, dessen Krümmungsform verschwindet: $\mathrm{\Omega }:=d\omega +\frac{1}{2}[\omega ,\omega ]=0$.

Aus dem Satz von Ambrose-Singer folgt, dass ein $G$-Prinzipalbündel mit einem flachen Zusammenhang ein flaches Bündel der Form

$E_{\rho }:=\tilde{M}\times G/\sim$

mit $(\gamma x,g)\sim (x,\rho (\gamma )g)$ für eine (vom flachen Zusammenhang abhängende) Darstellung $\rho :{\pi }_{1}M\to G$ ist. $\rho$ heißt die Holonomie-Darstellung des flachen Zusammenhangs.

Modulraum flacher Zusammenhänge

Der Raum aller Zusammenhänge eines gegebenen Prinzipalbündels ist $𝒜:={\mathrm{\Omega }}^1(M,𝔤)$ mit der $C^{\mathrm{\infty }}$-Topologie. Der Unterraum der flachen Zusammenhänge wird mit ${𝒜}_F$ bezeichnet. Die Eichgruppe $𝒢=C^{\mathrm{\infty }}(M,G)$ wirkt auf $𝒜$ durch $g\omega =g^{-1}\omega g+g^{-1}dg$, sie bildet ${𝒜}_F$ in sich ab.

Falls das Bündel (topologisch) trivialisierbar ist, vermittelt die Holonomie-Darstellung eine Bijektion zwischen

${𝒜}_F/𝒢$

und einer Zusammenhangskomponente der Darstellungsvarietät

$Hom({\pi }_{1}M,G)/conjugation$.

Der Modulraum flacher Zusammenhänge ist

$ℳ={𝒜}_F/𝒢$.

Sein Tangentialraum in einem flachen Zusammenhang $A\in ℳ$ ist

$T_Aℳ=H^1(M,d_A)$

mit

$d_{A}a=da+[A,a]$

für $A\in ℳ,a\in {\mathrm{\Omega }}^{*}(M,𝔤)$.

Der Satz von Narasimhan-Seshadri identifiziert den Modulraum flacher Zusammenhänge über einer kompakten Riemannschen Fläche $\mathrm{\Sigma }$ mit einer komplexen Mannigfaltigkeit, nämlich der Mannigfaltigkeit der stabilen Vektorbündel über $\mathrm{\Sigma }$.

Weblinks

• Flat connections on oriented 2-manifolds