Bochner-Integral

Das Bochner-Integral, benannt nach Salomon Bochner, ist eine Verallgemeinerung des Lebesgue-Integrals auf Banachraum-wertige Funktionen.

Definition

Es seien $(\mathrm{\Omega },𝒜,\mu )$ ein $\sigma$-endlicher, vollständiger Maßraum und $(B,\Vert \cdot \Vert )$ ein Banachraum.

Das Bochner-Integral $\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f\mathrm{d}\mu$ einer Funktion $f:\mathrm{\Omega }\to B$ ist nun folgendermaßen definiert:

Als einfache Funktion bezeichnen wir Funktionen der Gestalt

$s(x)=\sum _{i=1}^m{\alpha }_i{\chi }_{X_i}(x)$

mit Faktoren ${\alpha }_i\in B$ und messbaren Mengen $X_i\in 𝒜$, wobei ${\chi }_{X_i}$ deren Indikatorfunktion bezeichnet. Das Integral einer einfachen Funktion ist nun auf naheliegende Weise definiert:

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }s\mathrm{d}\mu :=\sum _{i=1}^m{\alpha }_i\mu (X_i)$,

wobei dies wohldefiniert, also unabhängig von der konkreten Zerlegung von $s$ ist.

Eine Funktion $f:\mathrm{\Omega }\to B$ heißt $\mu$-messbar oder Bochner-messbar, wenn es eine Folge $(s_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ einfacher Funktionen gibt, so dass $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{s}_n(x)=f(x)$ für $\mu$-fast alle $x\in \mathrm{\Omega }$ gilt.

Eine $\mu$-messbare Funktion $f:\mathrm{\Omega }\to B$ heißt Bochner-integrierbar, falls es eine Folge $(s_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ einfacher Funktionen gibt, so dass

• $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{s}_n(x)=f(x)$ für $\mu$-fast alle $x\in \mathrm{\Omega }$ gilt und
• zu jedem $\epsilon >0$ ein $n_0=n_0(\epsilon )\in \mathbb{N}$ existiert mit

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\Vert s_n-s_k\Vert \mathrm{d}\mu <\epsilon$ für alle $n,k\ge n_0$.

In diesem Fall ist

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f\mathrm{d}\mu :=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }{s}_n\mathrm{d}\mu$

wohldefiniert, das heißt unabhängig von der Wahl der konkreten Folge $(s_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ mit obigen Eigenschaften. Falls $M\in 𝒜$ und $f:M\to B$, so schreibt man

$\underset{M}{\int }f\mathrm{d}\mu :=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\tilde{f}\mathrm{d}\mu$ mit $\tilde{f}(x):=\{\begin{array}{cc}f(x),& \mathrm{f}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{s}x\in M,\\ 0,& \mathrm{f}\mathrm{a}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{s}x\in \mathrm{\Omega }\setminus M,\end{array}$

sofern $\tilde{f}$ Bochner-integrierbar ist.

Messbarkeitssatz von Pettis

Der folgende auf Billy James Pettis zurückgehende Satz charakterisiert die $\mu$-Messbarkeit:

Die Funktion $f:\mathrm{\Omega }\to B$ ist genau dann $\mu$-messbar, wenn die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind:

• Für jedes stetige lineare Funktional $\varphi \in B^{\prime }$ ist $\varphi \circ f:\mathrm{\Omega }\to 𝕂$ $\mu$-messbar.
• Es gibt eine $\mu$-Nullmenge $N\subset \mathrm{\Omega }$, so dass $f(\mathrm{\Omega }\setminus N)\subset B$ separabel bzgl. der Normtopologie ist.

Ist $B$ ein separabler Banachraum, so ist die zweite Bedingung automatisch erfüllt und damit entbehrlich. Insgesamt ist die $\mu$-Messbarkeit $B$-wertiger Funktionen mit diesem Satz auf die $\mu$-Messbarkeit skalarer Funktionen zurückgeführt.

Bochner-Integrierbarkeit

Die folgende von Bochner gefundene äquivalente Charakterisierung Bochner-integrierbarer Funktionen erlaubt es, einige klassische Resultate der lebesgueschen Integrationstheorie wie z. B. den Satz von der majorisierten Konvergenz auf das Bochner-Integral zu übertragen:

Eine $\mu$-messbare Funktion $f:\mathrm{\Omega }\to B$ ist genau dann Bochner-integrierbar, wenn $\Vert f\Vert :\mathrm{\Omega }\to ℝ$ Lebesgue-integrierbar ist.

Eigenschaften

In diesem Abschnitt ist $B$ ein Banachraum und $f,g:\mathrm{\Omega }\to B$ sind integrierbare Funktionen.

Linearität

Das Bochner-Integral ist linear, das heißt, für Bochner-integrierbare Funktionen $f,g:\mathrm{\Omega }\to B$ und beliebige $\alpha ,\beta \in 𝕂$ ist auch $\alpha f+\beta g$ integrierbar, und es gilt:

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }(\alpha f+\beta g)\mathrm{d}\mu =\alpha \underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f\mathrm{d}\mu +\beta \underset{\mathrm{\Omega }}{\int }g\mathrm{d}\mu$.

Verkettung mit einem stetigen Operator

Es sei $D$ ein Banachraum und $T\in L(B,D)$ ein stetiger linearer Operator. Dann ist $Tf:\mathrm{\Omega }\to D$ eine integrierbare Funktion und es gilt

$T(\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }f(x)\mathrm{d}\mu (x))=\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }T(f(x))\mathrm{d}\mu (x)$.

Radon–Nikodym-Eigenschaft

Vorlage:Hauptartikel Der Satz von Radon-Nikodým gilt für das Bochner-Integral im Allgemeinen nicht. Banachräume, für die dieser Satz gilt, bezeichnet man als Banachräume mit der Radon-Nikodym-Eigenschaft. Reflexive Räume besitzen stets die Radon-Nikodym-Eigenschaft.

Bochner-Lebesgue-Räume

Ist $(\mathrm{\Omega },𝒜,\mu )$ ein $\sigma$-endlicher, vollständiger Maßraum und $(B,\Vert \cdot \Vert )$ ein Banachraum, so nennt man für $1\le p\le \mathrm{\infty }$ den Raum $L^p(\mathrm{\Omega },𝒜,\mu ,B)$ der Bochner-integrierbaren Funktionen $\mathrm{\Omega }\to B$ einen Bochner-Lebesgue-Raum, wobei wie üblich $\mu$-fast gleiche Funktionen identifiziert werden durch Äquivalenzklassen. Man erhält mit der Norm

$\Vert f{\Vert }_p:={(\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }\Vert f(\omega ){\Vert }^p\mathrm{d}\mu (\omega ))}^{1/p},1\le p<\mathrm{\infty }$

$\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}:=\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}\sup \Vert f(\omega )\Vert ,p=\mathrm{\infty }$

einen Banachraum. Dieser lässt sich für $p=1$ wie folgt als Tensorprodukt beschreiben. Man rechnet nach, dass durch

$L^1(\mathrm{\Omega },𝒜,\mu )\times B\to L^1(\mathrm{\Omega },𝒜,\mu ,B),(f,\alpha )\mapsto f(\cdot )\alpha$

eine bilineare Abbildung gegeben ist, die einen isometrischen Isomorphismus

$L^1(\mathrm{\Omega },𝒜,\mu ){\hat{\otimes }}_{\pi }B\cong L^1(\mathrm{\Omega },𝒜,\mu ,B)$

definiert, wobei ${\hat{\otimes }}_{\pi }$ das projektive Tensorprodukt bezeichne.

Siehe auch

• Birkhoff-Integral
• Pettis-Integral

Literatur

• Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis. Band 3. Birkhäuser, Basel u. a. 2001, ISBN 3-7643-6613-3.
• Malempati M. Rao: Measure Theory and Integration (= Pure and Applied Mathematics. A Program of Monographs, Textbooks, and Lecture Notes. Bd. 265). 2nd edition, revised and expanded. Dekker, New York NY u. a. 2004, ISBN 0-8247-5401-8, S. 505 ff.

Weblinks

• Salomon Bochner: Integration von Funktionen, deren Werte die Elemente eines Vektorraumes sind. (PDF; 799 kB). In: Fundamenta Mathematicae. Bd. 20, 1933, S. 262–276.
• V. I. Sobolev: Bochner integral. In: Encyclopaedia of Mathematics (englisch).
• Integrale vektorwertiger Funktionen. In: Matroids Matheplanet.