Bilineare Abbildung

Im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra und verwandten Gebieten verallgemeinern die bilinearen Abbildungen die verschiedensten Begriffe von Produkten (im Sinne einer Multiplikation). Die Bilinearität entspricht dem Distributivgesetz

$a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$

bei der normalen Multiplikation. Bilineare Abbildungen sind ein Spezialfall multilinearer Abbildungen.

Definition

Eine $K$-bilineare Abbildung ist eine 2-multilineare Abbildung, das heißt eine Abbildung

$f:E\times F\to G$, wobei $E$, $F$ und $G$ drei $K$-Moduln oder $K$-Vektorräume über dem (gleichen) Ring bzw. Körper $K$ sind,

so dass für jedes (fest gewählte) $y$ aus $F$

$x\mapsto f(x,y)$

eine $K$-lineare Abbildung $E\to G$ ist, und für jedes $x$ aus $E$

$y\mapsto f(x,y)$

eine lineare Abbildung $F\to G$ ist. Für beliebige $x,x^{\prime }\in E$, $y,y^{\prime }\in F$ und $\alpha \in K$ gilt demnach

$\begin{array}{cc}f(x+x^{\prime },y)& =f(x,y)+f(x^{\prime },y)\\ f(x\cdot \alpha ,y)& =\alpha \cdot f(x,y)\\ f(x,y+y^{\prime })& =f(x,y)+f(x,y^{\prime })\\ f(x,\alpha \cdot y)& =\alpha \cdot f(x,y).\\ \end{array}$

Man kann sagen, dass der Begriff der Bilinearität eine Verallgemeinerung der für Ringe und insbesondere Körper geltenden (Links- und Rechts-)Distributivgesetze darstellt. Dabei beschreibt die Bilinearität jedoch nicht nur (wie die Distributivgesetze) das Verhalten der Abbildung hinsichtlich Addition, sondern auch hinsichtlich Skalarmultiplikation.

Genauer: Ist $K$ ein (möglicherweise nicht-kommutativer) Ring mit $1$, dann muss die Seitigkeit der Moduln miteinbezogen werden, d. h. $E$ muss ein rechter und $F$ ein linker $K$-Modul sein. Die Seitigkeit von $G$ bleibt frei wählbar (in den Gleichungen ist sie links), weil $K$ auf $G$ – zumindest jedoch auf dem Bild $f(F\times E)\subset G$ und damit auch auf dem von ihm aufgespannten Untermodul bzw. Unterraum – kommutativ operiert: $\alpha \cdot \beta \cdot f(x,y)=\alpha \cdot f(x,\beta \cdot y)=f(\alpha \cdot x,\beta \cdot y)=\beta \cdot f(\alpha \cdot x,y)=\beta \cdot \alpha \cdot f(x,y).$

Normierte Räume

Sind die betrachteten $K$-Vektorräume normiert, dann lässt sich analog zu linearen Abbildungen eine Operatornorm definieren:

$\Vert f\Vert :=\sup {\mathrm{\backslash limits}}_{x,y\ne 0}\frac{\Vert f(x,y)\Vert }{\Vert x\Vert \cdot \Vert y\Vert }=\sup {\mathrm{\backslash limits}}_{\Vert x\Vert ,\Vert y\Vert =1}\Vert f(x,y)\Vert$

$f$ ist stetig genau dann wenn $\Vert f\Vert <\mathrm{\infty }$. Es gilt die Submultiplikativität $\Vert f(x,y)\Vert \le \Vert f\Vert \cdot \Vert x\Vert \cdot \Vert y\Vert$.

Stetigkeit und Differenzierbarkeit

Bilineare Abbildungen mit endlichdimensionalem Definitionsbereich sind immer stetig.

Ist eine bilineare Abbildung $B$ stetig, ist sie auch total differenzierbar und es gilt

$DB(x_0,y_0)(x,y)=B(x_0,y)+B(x,y_0)$

Unter Anwendung der Kettenregel folgt daraus, dass zwei differenzierbare Funktionen, die mit einer bilinearen Abbildung verknüpft sind, mit der Verallgemeinerung der Produktregel abgeleitet werden können: Seien $f,g$ total differenzierbare Funktionen, dann gilt

$\begin{array}{cc}DB(f(\cdot ),g(\cdot \cdot ))(x_0,y_0)(x,y)& =D(B\circ (f,g))(x_0,y_0)(x,y)\\ & =B(Df(x_0)x,g(y_0))+B(f(x_0),Dg(y_0)y)\end{array}$

Beispiele

Sämtliche gemeinhin übliche Produkte sind bilineare Abbildungen: die Multiplikation in einem Körper (reelle, komplexe, rationale Zahlen) oder einem Ring (ganze Zahlen, Matrizen), aber auch das Vektor- oder Kreuzprodukt, und das Skalarprodukt auf einem reellen Vektorraum.

Ein Spezialfall der bilinearen Abbildungen sind die Bilinearformen. Bei diesen ist der Wertebereich $G$ mit dem Skalarkörper $K$ der Vektorräume $E$ und $F$ identisch.

$f:E\times F\to K$

Bilinearformen sind für die analytische Geometrie und Dualitätstheorie wichtig.

In der Bildverarbeitung wird eine bilineare Filterung zur Interpolation eingesetzt.

Weitere Eigenschaften

Symmetrie und Antisymmetrie (für $F=E$) und andere Eigenschaften sind wie im allgemeineren Fall der multilinearen Abbildungen definiert.

Eine bilineare Abbildung $E\times E\to E$ macht $E$ zu einer Algebra.

Im Falle komplexer Vektorräume betrachtet man auch sesquilineare („anderthalb“-lineare) Abbildungen, welche im zweiten (oder ggf. im ersten) Argument antilinear sind, das heißt, dass

$f(x,\alpha \cdot y)={\alpha }^{*}\cdot f(x,y)$

(wobei $*$ die komplexe Konjugation bezeichnet), während alle anderen obigen Gleichungen bestehen bleiben.

Bezug zu Tensorprodukten

Bilineare Abbildungen werden im folgenden Sinne durch das Tensorprodukt klassifiziert: Ist

$f:E\times F\to G$

eine bilineare Abbildung, so gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung

$E\otimes F\to G,x\otimes y\mapsto f(x,y);$

umgekehrt definiert jede lineare Abbildung

$\lambda :E\otimes F\to G$

eine bilineare Abbildung

$E\times F\to G,(x,y)\mapsto \lambda (x\otimes y).$

Diese beiden Konstruktionen definieren eine Bijektion zwischen dem Raum der bilinearen Abbildungen $E\times F\to G$ und dem Raum der linearen Abbildungen $E\otimes F\to G$.

Bilineare Abbildungen über endlichdimensionalen Vektorräumen

Sind $E$ und $F$ endlichdimensionale $K$-Vektorräume mit beliebig gewählten Basen $(b_i{)}_{i=1,\dots ,n}$ von $E$ und $(c_j{)}_{j=1,\dots ,m}$ von $F$, dann gibt es für ein beliebiges $x$ aus $E$ die Darstellung

$x=\sum _i{x}_i{b}_i$ mit Koeffizienten $x_i$ aus $K$ und analog für ein beliebiges $y$ aus $F$ die Darstellung

$y=\sum _j{y}_j{c}_j.$

Mit den Rechenregeln der bilinearen Abbildung ergibt sich dann

$f(x,y)=\sum _i\sum _j{x}_i{y}_{j}f(b_i,c_j).$

Die bilineare Abbildung ist also durch die Bilder aller geordneten Paare der Basisvektoren von $E$ und $F$ bestimmt. Ist $G$ ebenfalls ein K-Vektorraum, so spannt das Bild $\mathrm{Im}(f)$ einen maximal $n\cdot m$ dimensionalen Untervektorraum von $G$ auf. Im Allgemeinen ist das Bild einer bilinearen Abbildung zwischen Vektorräumen aber kein Untervektorraum.

Für Bilinearformen sind die $f(b_i,c_j)$ aus $K$, so dass sie in naheliegender Weise in einer Matrix notiert werden können. Diese Matrix ist dann die Koordinatendarstellung der Bilinearform bezüglich der gewählten Basen.

Quellen

• Gerd Fischer: Lineare Algebra. 17. Auflage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-8348-0996-4.