Arithmetische Gruppe

In der Mathematik spielen arithmetische Gruppen eine wichtige Rolle in der Zahlentheorie, Differentialgeometrie, Topologie, Algebraischen Geometrie und in der Theorie der Lie-Gruppen. Es handelt sich um arithmetisch definierte Gitter in Lie-Gruppen; klassische Beispiele sind die Modulgruppe $SL(2,\mathbb{Z})$ und allgemein die Gruppen $SL(n,\mathbb{Z})$ für $n\ge 2$. Arithmetizität ist stets in Bezug auf eine umgebende Lie-Gruppe definiert. Nach einem Satz von Margulis sind alle irreduziblen Gitter in halbeinfachen Lie-Gruppen vom Rang $\ge 2$ ohne kompakten Faktor immer arithmetische Untergruppen.

Definition

Sei $G$ eine nichtkompakte halbeinfache Lie-Gruppe, $\mathrm{\Gamma }\subset G$ eine Untergruppe. $\mathrm{\Gamma }$ heißt arithmetisch, wenn es

• eine über $\mathbb{Q}$ definierte zusammenhängende lineare algebraische Gruppe ${\mathrm{G}}^{\prime }\subset GL(n,ℂ)$ und
• einen Isomorphismus $\varphi :G/K\to {\mathrm{G}}^{\prime }(ℝ{)}_0/K^{\prime }$ (für geeignete kompakte Normalteiler $K,K^{\prime }$)

gibt, so dass $\varphi (\mathrm{\Gamma }K)$ kommensurabel zu $(\mathrm{G}(\mathbb{Z}{)}^{\prime }\cap {\mathrm{G}}^{\prime }(ℝ{)}_0)K^{\prime }$ ist.

Anmerkung: Eine über $\mathbb{Q}$ definierte lineare algebraische Gruppe ist – per Definition – eine durch Polynome mit rationalen Koeffizienten definierte Untergruppe $G\subset GL(n,ℂ)$. Wenn $\mathrm{G}$ eine über $\mathbb{Q}$ definierte lineare algebraische Gruppe ist, dann ist nach dem Satz von Borel und Harish-Chandra $\mathrm{G}(\mathbb{Z})$ ein Gitter in $\mathrm{G}(ℝ)$. Folglich ist jede arithmetische Gruppe ein Gitter in der Zusammenhangskomponente der umgebenden Lie-Gruppe.

Beispiele

• Nach Definition ist klar, dass $SL(n,\mathbb{Z})\subset SL(n,ℝ)$ und auch zu $SL(n,\mathbb{Z})$ kommensurable Gruppen arithmetisch sind.

• Bezeichne $\mathbb{Z}\left[i\right]\subset ℂ$ die Gruppe der ganzen Gaußschen Zahlen. $GL(n,\mathbb{Z}\left[i\right])$ ist eine arithmetische Untergruppe von $GL(n,ℂ)$, denn es ist $\varphi (GL(n,\mathbb{Z}\left[i\right])=\varphi (GL(n,ℂ))\cap GL(2n,\mathbb{Z})$ für die kanonische Einbettung $\varphi :GL(n,ℂ)\to GL(2n,ℝ)$.

• Sei $SO(1,n)=\{g\in SL(n+1,ℝ):g{I}_{1,n}{g}^T=I_{1,n}\}$, wobei $I_{1,n}$ die Diagonalmatrix $I_{1,n}=diag(1,-1,-1,\dots ,-1)$ bezeichnet und sei $SO(1,n,\mathbb{Z})=SO(1,n)\cap SL(n+1,\mathbb{Z})$. Dann ist $SO(1,n,\mathbb{Z})$ eine arithmetische Untergruppe von $SO(1,n)$, denn $SO(1,n)$ ist durch Polynome mit rationalen Koeffizienten definiert.

• Im Folgenden wollen wir die Definition auf eine Klasse von weniger offensichtlichen Beispielen anwenden, nämlich auf die Hilbertschen Modulgruppen.

Sei

$k=Q\left[\sqrt{D}\right]=\{a+b\sqrt{D}:a,b\in \mathbb{Q}\}$

ein reeller quadratischer Zahlkörper – für eine quadratfreie ganze Zahl $D>0$ mit $D\cong 3mod4$ – und $O_k\subset k$ sein Ganzheitsring. Es gibt zwei durch ${\sigma }_{\pm }(a+b\sqrt{D})=a\pm b\sqrt{D}$ definierte Einbettungen ${\sigma }_{\pm }:k\to ℝ$ und dementsprechend zwei Einbettungen ${\sigma }_{\pm }:SL(2,k)\to SL(2,ℝ)$.

Wir betrachten die halbeinfache Lie-Gruppe

$G=SL(2,ℝ)\times SL(2,ℝ)$

und die Untergruppe

$\mathrm{\Gamma }=\{({\sigma }_{+}(A),{\sigma }_{-}(A)):A\in SL(2,O_k)\}\subset G$

und wollen zeigen, dass $\mathrm{\Gamma }$ eine arithmetische Gruppe ist.

Wir betrachten zunächst die algebraische Varietät

$\mathrm{H}:=\{\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right):d=a,c=bD\}\subset Mat(2,ℂ)$

und den durch

$\psi (a+b\sqrt{D})=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ bD& a\end{array}\right)$ definierten Homomorphismus :$\psi :k\to \mathrm{H}(\mathbb{Q})\subset Mat(2,\mathbb{Q})$.

Dann ist $\psi (O_k)=\mathrm{H}(\mathbb{Z})$.

Wir bemerken, dass es einen bijektiven (additiven und multiplikativen) Homomorphismus $\mathrm{\Psi }:ℝ\times ℝ\to \mathrm{H}(ℝ)$ mit

$\mathrm{\Psi }\circ ({\sigma }_{+},{\sigma }_{-})=\psi$,

also $\mathrm{\Psi }(a+b\sqrt{D},a-b\sqrt{D})=\psi (a+b\sqrt{D})$ für alle $a+b\sqrt{D}\in k$ gibt, nämlich $\mathrm{\Psi }(x,y)=\left(\begin{array}{cc}\frac{x+y}{2}& \frac{x-y}{2\sqrt{D}}\\ \frac{x-y}{2}\sqrt{D}& \frac{x+y}{2}\end{array}\right)$.

Nun betrachten wir die lineare algebraische Gruppe

$\mathrm{G}:=\{X=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right):A,B,C,D\in \mathrm{H},AD-BC=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\}\subset GL(4,ℂ)$.

(Hier sind $A,B,C,D$ 2x2-Blöcke in einer 4x4-Matrix.)

Wir definieren einen Gruppen-Homomorphismus

$\varphi :SL(2,ℝ)\times SL(2,ℝ)\to \mathrm{G}(ℝ)\subset GL(4,ℝ)$ durch $\varphi (\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}{a}^{\prime }& b^{\prime }\\ c^{\prime }& d^{\prime }\end{array}\right))=\left(\begin{array}{cc}\mathrm{\Psi }(a,a^{\prime })& \mathrm{\Psi }(b,b^{\prime })\\ \mathrm{\Psi }(c,c^{\prime })& \mathrm{\Psi }(d,d^{\prime })\end{array}\right)$.

$\varphi$ bildet tatsächlich nach $\mathrm{G}(ℝ)$ ab: offensichtlich liegen die Blöcke der Bildmatrizen in $\mathrm{H}$, außerdem ist $\mathrm{\Psi }(a,a^{\prime })\mathrm{\Psi }(d,d^{\prime })-\mathrm{\Psi }(b,b^{\prime })\mathrm{\Psi }(c,c^{\prime })=\left(\begin{array}{cc}\frac{\det (X)+\det (Y)}{2}& \frac{\det (X)-\det (Y)}{2\sqrt{D}}\\ \frac{\det (X)-\det (Y)}{2}\sqrt{D}& \frac{\det (X)+\det (Y)}{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ mit $X=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right),Y=\left(\begin{array}{cc}{a}^{\prime }& b^{\prime }\\ c^{\prime }& d^{\prime }\end{array}\right)$.

Aus der Bijektivität von $\mathrm{\Psi }$ folgt, dass auch $\varphi$ bijektiv und mithin ein Isomorphismus ist.

Wegen $\varphi (\mathrm{\Gamma })=\mathrm{G}(\mathbb{Z})$ beweist das die Arithmetizität von $\mathrm{\Gamma }$.

Arithmetische Untergruppen von SL(n,R)

Alle arithmetischen Untergruppen von $SL(n,ℝ)$ kann man mittels Divisionsalgebren, mittels unitärer Gruppen oder mittels einer Kombination dieser beiden Methoden konstruieren.

Divisionsalgebren

Sei ${\displaystyle }$ eine Körpererweiterung von $\mathbb{Q}$ mit $[F:\mathbb{Q}]=d$ und sei $𝒪$ der Ganzheitsring von $F$. Sei $j\in ℂ$ mit $j^d\in \mathbb{Z}$ und $jx=\eta (x)j$ für das nichttriviale Element $\eta \in Gal(F/\mathbb{Q})$ und alle $x\in F$.

Wir betrachten die Divisionsalgebra $D=F+Fj+F{j}^2+\dots +F{j}^{d-1}$ und $D_{\mathbb{Z}}=𝒪+𝒪j+𝒪j^2+\dots +𝒪j^{d-1}$.

Dann ist $SL(n,D_{\mathbb{Z}})$ eine arithmetische Untergruppe von $SL(dn,ℝ)$.

Unitäre Gruppen

Sei $F=\mathbb{Q}\left[\sqrt{r}\right]$ mit $r\in \mathbb{Z}$ und sei $\eta \in Gal(F/\mathbb{Q})$ das nichttriviale Element der Galoisgruppe. Sei $A\in GL(n,F)$ eine hermitesche Matrix.

Wir betrachten $SU(A,\eta ;F)=\{g\in SL(n,F):gA(\eta (g){)}^T=A\}$.

Dann ist $SU(A,\eta ;\mathbb{Z}\left[\sqrt{r}\right])=SU(A,\eta ;F)\cap SL(n,\mathbb{Z}\left[\sqrt{r}\right])$ eine arithmetische Untergruppe von $SL(n,ℂ)$.

Kombination

Sei $F=\mathbb{Q}\left[\sqrt{r}\right]$ mit $r\in \mathbb{Z}$ und sei $\eta \in Gal(F/\mathbb{Q})$ das nichttriviale Element. Sei $D$ eine Divisionsalgebra über $F$, so dass $\eta$ zu einem Antiautomorphismus von $D$ fortgesetzt werden kann. Sei $A\in GL(n,D)$ eine hermitesche Matrix, d. h. $(\eta (A){)}^T=A$.

Dann ist $SU(A,\eta ;D_{\mathbb{Z}})$ eine arithmetische Untergruppe von $SU(A,\eta ;D{\otimes }_{\mathbb{Q}}ℝ)$.

Q-Rang und R-Rang

Spaltende Tori

Sei $G\subset GL(n,ℂ)$ eine algebraische Gruppe. Ein Torus ist eine abgeschlossene, zusammenhängende Untergruppe $T\subset G$, die (über $ℂ$) diagonalisierbar ist, das heißt, es gibt einen Basiswechsel $B\in GL(n,ℂ)$, so dass $BT{B}^{-1}$ aus diagonalisierbaren Matrizen besteht.

Der Torus heißt $ℝ$-spaltend, wenn man $B\in GL(n,ℝ)$ wählen kann. Zum Beispiel ist $SO(2)$ kein $ℝ$-spaltender Torus in $SL(2,ℝ)$, die Gruppe der Diagonalmatrizen (mit Determinante 1) aber doch. Der $ℝ$-Rang einer algebraischen Gruppe ist die maximale Dimension eines $ℝ$-spaltenden Torus. Zum Beispiel ist $ℝ-rk(SL(n,ℝ))=n-1$ oder $ℝ-rk(SO(n))=0$.

Ein Torus heißt $\mathbb{Q}$-spaltend, wenn er über $\mathbb{Q}$ definiert ist und man $B\in GL(n,\mathbb{Q})$ wählen kann.

Q-Rang

Für eine arithmetische Gruppe $\mathrm{\Gamma }\subset G$ gibt es per Definition eine über $\mathbb{Q}$ definierte zusammenhängende lineare algebraische Gruppe $\mathrm{G}$ und einen Isomorphismus $\varphi$, so dass (modulo kompakter Gruppen) das Bild von $\mathrm{\Gamma }$ zu $\mathrm{G}(\mathbb{Z})\cap \mathrm{G}(ℝ{)}_0$ isomorph ist. Der $\mathbb{Q}$-Rang von $\mathrm{\Gamma }$ wird definiert als die Dimension eines maximalen $\mathbb{Q}$-spaltenden Torus in $\mathrm{G}$. (Man beachte, dass $\mathbb{Q}-rk(\mathrm{\Gamma })$ nur von $\mathrm{G}$ abhängt, dass aber verschiedene arithmetische Untergruppen ${\mathrm{\Gamma }}_1,{\mathrm{\Gamma }}_2\subset G$ einer Lie-Gruppe $G$ unterschiedlichen $\mathbb{Q}$-Rang haben können, weil die zu wählenden algebraischen Gruppen ${\mathrm{G}}_1,{\mathrm{G}}_2$ sich unterscheiden.)

Beispiele

Man sieht leicht, dass $ℝ-rk(SL(2,ℝ)\times SL(2,ℝ))=\mathbb{Q}-rk(SL(2,ℝ)\times SL(2,ℝ))=2$. Die arithmetische Untergruppe $SL(2,\mathbb{Z})\times SL(2,\mathbb{Z})\subset SL(2,R)\times SL(2,ℝ)$ hat also $\mathbb{Q}$-Rang $2$. Der $\mathbb{Q}$-Rang der oben besprochenen Hilbertschen Modulgruppe ist hingegen der $\mathbb{Q}$-Rang der oben konstruierten Gruppe $\mathrm{G}:=\{X=\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right):A,B,C,D\in \mathrm{H},\det (X)=1\}\subset GL(4,ℂ)$. Man kann zeigen, dass $\{diag(\lambda ,\lambda ,\frac{1}{\lambda },\frac{1}{\lambda }):\lambda \in {ℝ}^{\times }\}$ ein maximaler $\mathbb{Q}$-spaltender Torus in $\mathrm{G}(ℝ)$ ist, mithin $\mathbb{Q}-rk(\mathrm{\Gamma })=\mathbb{Q}-rk(\mathrm{G}(ℝ))=1$.

Geometrische Interpretation

Sei $G$ eine nichtkompakte halbeinfache Lie-Gruppe ohne kompakten Faktor, $K$ eine maximal kompakte Untergruppe und $\mathrm{\Gamma }\subset G$ ein arithmetisches Gitter. Die Killing-Form definiert eine riemannsche Metrik auf $G/K$, man erhält einen symmetrischen Raum. Der $ℝ$-Rang von $G$ lässt sich interpretieren als die Dimension eines maximalen flachen Unterraumes (d. h. einer einfach zusammenhängenden total-geodätischen Untermannigfaltigkeit mit Schnittkrümmung konstant $0$) in $G/K$.

Der Quotient $X=\mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }G/K$ ist ein lokal symmetrischer Raum. Der $\mathbb{Q}$-Rang von $\mathrm{\Gamma }$ lässt sich interpretieren als die maximale Dimension eines flachen Unterraumes in einer endlichen Überlagerung von $X$ oder als die kleinste Zahl $r$, so dass ganz $X$ in endlichem Abstand von einer endlichen Vereinigung $r$-dimensionaler flacher Unterräume ist. Insbesondere ist $\mathbb{Q}-rk(\mathrm{\Gamma })=0$, falls $X$ kompakt ist.

Charakterisierung arithmetischer Gitter

Satz (Margulis): Ein irreduzibles Gitter $\mathrm{\Gamma }\subset G$ in einer halbeinfachen Lie-Gruppe $G$ ist arithmetisch dann und nur dann, wenn $\mathrm{\Gamma }$ unendlichen Index in seinem Kommensurator hat, also wenn $[{\mathrm{comm}}_G(\mathrm{\Gamma }):\mathrm{\Gamma }]=\mathrm{\infty }$.

Arithmetizitäts-Satz von Margulis

Satz: Sei $G$ eine halbeinfache Lie-Gruppe ohne kompakten Faktor mit $ℝ-rk(G)\ge 2$. Dann ist jedes irreduzible Gitter $\mathrm{\Gamma }\subset G$ arithmetisch.

Erläuterungen: Ein Gitter ist eine diskrete Untergruppe $\mathrm{\Gamma }\subset G$ mit $vol(\mathrm{\Gamma }\mathrm{\setminus }G)<\mathrm{\infty }$, wobei das Volumen bzgl. des Haarmaßes berechnet wird. Ein Gitter heißt irreduzibel, falls es keine Zerlegung $G=G_1\times G_2,\mathrm{\Gamma }={\mathrm{\Gamma }}_1\times {\mathrm{\Gamma }}_2$ mit Gittern ${\mathrm{\Gamma }}_1\subset G_1,{\mathrm{\Gamma }}_2\subset G_2$ gibt.

Margulis bewies diesen Satz als eine Folgerung aus dem von ihm bewiesenen Superstarrheitssatz.

Literatur

• Lizhen Ji: Arithmetic groups and their generalizations. What, why, and how (= Studies in Advanced Mathematics. Bd. 43). American Mathematical Society, Providence RI 2008, ISBN 978-0-8218-4675-9.
• Vladimir Platonov, Andrei Rapinchuk: Algebraic Groups and Number Theory (= Pure and Applied Mathematics. Bd. 139). Academic Press, Boston MA u. a. 1994, ISBN 0-12-558180-7, Digitalisat (PDF; 22,46 MB).

Weblinks

• Witte Morris, Dave: Introduction to Arithmetic Groups
• Witte Morris, Dave: Introduction to Arithmetic Groups (Folien einer Vortragsreihe; PDF; 537 kB)