Irreduzibles Gitter

In der Mathematik sind irreduzible Gitter in der Theorie der Lie-Gruppen von Bedeutung.

Sei $G$ eine nichtkompakte, halbeinfache Lie-Gruppe und $\mathrm{\Gamma }\subset G$ ein Gitter, d. h. eine diskrete Untergruppe, für die es einen Fundamentalbereich endlichen Volumens bzgl. des Haarmaßes gibt.

Wenn ${\mathrm{\Gamma }}_1\subset G_1$ und ${\mathrm{\Gamma }}_2\subset G_2$ Gitter sind, dann ist ${\mathrm{\Gamma }}_1\times {\mathrm{\Gamma }}_2$ ein Gitter in $G_1\times G_2$. Solche Gitter heißen reduzibel.

Ein Gitter $\mathrm{\Gamma }\subset G$ heißt irreduzibel, wenn für jeden nichtkompakten, abgeschlossenen Normalteiler der Zusammenhangskomponente der Eins $N\subset G_0$ die Menge $\mathrm{\Gamma }N$ dicht in $G$ ist.

In einer nicht-kompakten einfachen Lie-Gruppe ist jedes Gitter irreduzibel.

Beispiele irreduzibler Gitter in Gruppen der Form $G_1\times G_2$ sind die Hilbertschen Modulgruppen.

Wenn das Zentrum $Z(G)=0$ und die Projektion von $\mathrm{\Gamma }$ im maximal kompakten Faktor dicht liegt, dann ist jedes Gitter kommensurabel zu einem Produkt irreduzibler Gitter.

Literatur

• D. Witte-Morris: Introduction to arithmetic groups. Deductive Press, 2015. ISBN 978-0-9865716-0-2